ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Общая характеристика инвариантных задач теории нестационарной фильтрации. Автомодельные пологие безнапорные движения при нулевом начальном уровне жидкости из "Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа" Однако главная ценность таких решений была осознана позднее. Оказалось, что они представляют собой асимптотические представления решени11 весьма широких классов задач именно там, где детальная структура граничных и начальных условий перестает быть существенной, а эти области часто бывают наиболее интересными (напрпмер, спустя некоторое время после начала отбора из скважины, пока воронка депрессии не достигла области влияния соседней скважины и т. д.). Поэтому, зная такие решения, мы фактически получаем возможность судить, по крайней мере качественно, о поведении очень широкого класса фильтрационных двилч-ений. [c.58] Важным свойством рассматриваемых ниже решений является их инвариантность для одних из этих решений — автомодельных — распределение давлений, напоров, плотностей и т. п. оказывается все время подобным самому себе, для других — перемещается как твердое тело с постоянной скоростью и т. д. Это свойство связано с особым характером задач, приводящих к таким решениям. Выполнение определенных преобразований зависимых и независимых переменных оставляет уравнения, граничные и начальные условия задачи неизменными. Как говорят в математике, зти задачи инвариантны относительно некоторой группы непрерывных преобразований. Такие задачи называются инвариантными, они рассматриваются ниже. [c.58] Для определенности при исследовании задач с нулевым начальным условием будем рассматривать безнапорные пологие фильтрационные движения в первоначально сухом грунте, имея в виду, что в силу обнаруженной Л. С. Лейбензоном аналогии (см. гл. II) все результаты непосредственно переносятся на задачи изотермической фильтрации газа. Излагаемые ниже в этом параграфе решения были получены Г. И. Баренблаттом [4, 5, 9]. [c.58] Рассмотрим полубесконечный пласг, имеющий снизу плоскую горизонтальную непроницаемую границу — водоупор, а со стороны канала — плоскую верт1шальную границу (рис. IV. ), перпендикулярную оси X и проходящую через точку х = 0. [c.58] При непрерывной функции / ( ) и / О требование непрерывности функции dfУdl = 2fdf d совпадает с требованием непрерывности производной df d . Однако при / = О из непрерывности df d% непрерывность df d не вытекает. Напротив, как увидим далее, искомая функция / ( , Я) имеет в точке, где / обращается в нуль, разрыв первой производной. [c.60] Исследование этого уравнения проводится обычным образом (см., например, книгу В. В. Степанова [111]). Поскольку, очевидно, напор заведомо неотрицателен, функция / и, следовательно, функция ф также неотрицательны, так что интересующая нас область плоскости фя 5 представляет собой правую полуплоскость (ем. рис. IV.2). [c.62] Искомой криво уравнения (IV. .7), удовлетворяющей условию (IV. 1.8), непрерывной и обладающей непрерывной производной от квадрата, будет кривая, состоящая из отрезка интегральной кр 1во 1, разделяющей кривые I и II классов, вплоть до пересечения ее с осью абсцисс в некоторой точке, и отрезка оси абсцисс . [c.65] Функция (Я) монотонно возрастает с убыванием Я, стремясь к бесконечности при Я, стремящемся к —1 (решение, соответствующее Я = —1, будет рассмотрено ниже). [c.70] Таким образом, предыдущие соотношения показывают, что решения, соответствующие О а со, т. е. О Я 1, отвечают возрастанию напора жидкости на границе и общего количества жидкости в пласте для решения, соответствующего а — Я = О, напор жидкости на границе постоянен в ходе всего процесса, количество жидкости в пласте возрастает. При — О, т. е. —7г С напор на границе в начальный момент бесконечен и убывает с течением времени до нуля количество жидкости, первоначально равное, как и во всех предыдущих случаях, нулю, со временем увеличивается. При а = — /з, т. е. Я = — /2, напор на границе в начальный момент бесконечен и с течением времени убывает до нуля общее количество жидкости в пласте постоянно в течение всего процесса — жидкость через границу х = О в пласт не поступает. Во всех указанных случаях на границе пласта ж = О во всяки момент времени достигается максимальное для этого момента значение напора. При — с — /з, т. е. — 1 Я — /2, напор жидкости на границе в начальный момент бесконечен и с течением времени убывает до нуля. Общее количество жидкости в начальный момент бесконечно велико и с течением времени убывает, стремясь к нулю, так что на границе пласта жидкость уже не втекает в пласт, как в предыдущих случаях, а вытекает из пласта. Тогда на границе пласта напор жидкости уже. не будет максимальным максимальная величина напора достигается в некоторой внутренней точке пласта, различной для разных моментов времени. [c.72] Таким образом, график распределения напора жидкости в пласте представляется отсекаемым осями координат отрезком прямой линии, перемещающейся параллельно самой себе с постоянной скоростью. [c.73] Обозначая т через 1/и, получаем, что при а - сю решение (1У.2.16) стремится к решению (1У.2.10). Поэтому решение (1У,2.10) было названо предельным автомодельным решением. Это решение было получено в работе Г. И. Баренблатта [8]. Предельные автомодельные решения представляют и принципиальный интерес в том отношении, что для доказательства автомодельности этих решений уже недостаточно соображений анализа размерности, т. 6. недостаточно инвариантности постановки задачи относительно группы преобразования подобия величин с независимыми размерностями, как это было в ранее рассмотренных автомодельных задачах, а требуется дополнительно воспользоваться инвариантностью постановки задачи относительно еще одной группы — группы преобразований переноса по времени. [c.76] Приведенные при рассмотрении предельной автомодельной задачи рассуждения носят общий характер и могут применяться во многих других задачах. Очевидно, что предельные автомодельные движения существуют всегда, если система основных уравнений рассматриваемой задачи имеет автомодельные решения обычного степенного типа с произвольным показателем степени (который может принимать сколь угодно большие значения) и инвариантна относительно преобразования переноса соответствующей координаты. Как пример можно указать задачу пограничного слоя в несжимаемой жидкости, а также задачу одномерных неустановившихся движений газа. Полученные для этих задач автомодельные решения, содержащие степенные функции независимых переменных [136, 103], при предельном переходе, аналогичном проделанному в рассматриваемой задаче теории фильтрации дают предельные автомодельные реп1е-ния, полученные Гольдштейном и Станюковичем [137, 109] путе.м формальной постановки. [c.76] Начальный напор во всем пласте равен нулю. [c.76] статью Г. И. Баренблатта [8] и книгу Л. И. Седова [102]. [c.76] Рассмотренные выше автомодельные решения задачи о пологой безнапорной фильтрации жидкости при ненулевом начальном уровне были найдены П. Я. Полубариновой-Кочиной [92, 93[. На существование автомодельных решений такого типа в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа было указано в работах Буссинеска [133] и Лейбензона [12], однако ни их качественного исследования, ни численного расчета в этих работах проведено не было. [c.87] В этом случае уравнение (1У.8.14) и первое условие (1У.8.15) инвариантны относительно группы преобразований /( ) = ц ф. [c.87] На рис. IV. 11 приведены полученные таким образом значения функции ф ( ). [c.89] Так как для рассматриваемой практически интересной области Я] 0,01 значение весьма мало ( 0,01) и е = отличается от единицы не более чем в шестом десятичном знаке, то можно полагать С = —Я. [c.94] Вернуться к основной статье