ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Программное моделирование для цифровых вычислительных машин из "Математическое моделирование в химической технологии" Существует мнение, что знание техники программирования (в частности, для решения систем уравнений) может быть полезно для анализа решения уравнений, описывающих реальную физическую систему, и в этом есть доля правды. Однако убедиться в правильности модели и решения исследователь дюжет, при соответствующей организации программы счета, путем анализа промежуточных величин при вычислении, что не требует от него знания тонкостей программирования. Этот же аргумент часто приводят в пользу аналитических методов решения уравнений, считая, что сложные действия и преобразования, которые требуются, чтобы получить аналитическое решение, дают возможность проникнуть в сущность задачи. Такое утверждение справедливо лишь для тех редких случаев, когда математик может решить систему уравнений аналитически. К несчастью, в огромном большинстве случаев, возникающих в практике, система. объединяет нелинейные алгебраические и дифференциальные уравнения, не допуская возможности аналитического решения даже для опытных математиков. Во всяком случае весьма сомнительно, чтобы средний инженер смог получить решение достаточно сложной системы уравнений. [c.27] Как видно, величины X и У сходятся к их окончательным значениям (—0,40 и 1,60) за шесть циклов. Если взять другое начальное значение для У, вычисления обязательно приведут к этим же значениям X и У. В этом легко убедиться, если произвести соответствующие расчеты вручную. Графически схема последовательных приближений представлена на рис. И-1. Оба уравнения показаны на рисунке как прямые линии, пересекающиеся в точке X = —0,4 У = +1,6. Ступенчатая схема решения сходится окончательно в точке пересечения этих прямых. [c.29] Для того чтобы понять эту книгу, достаточно представлять себе цифровую вычислительную машину как комплекс, состоящий из быстродействующего арифметического устройства, выполняющего по заранее составленной программе арифметические и логические операции (сложение, умножение, логическое отрицание и т. д.), запоминающего устройства для хранения программы вычислений, исходных данных и получающихся результатов, управляющего устройства, автоматически выполняющего программу вычислений, устройства ввода данных, необходимых для счета, и устройства вывода промежуточных и окончательных результатов. Здесь не рассматриваются детально подробности программирования, но надо заметить, что между уравнениями и программой вычислений в машип-цом коде имеется промежуточная стадия, которая состоит в приведении программы решения к виду блок-схемы или к форме информационного потока. [c.30] Для рассмотренных выше уравнений типичная блок-схема программы представлена на рис. П-2. Операция, выполняемая каждым блоком, записывается внутри него. Вычислительная машина будет выполнять вычисления согласно блок-схеме по замкнутому циклу до тех пор, пока не будет выполнено условие, содержащееся в блоке сравнения. При этом самые последние, соответствующие выполнению этого условия, значения X и У выводятся на перфокарту или ленту. Полная последовательность операций, включая полдюжины циклов по замкнутому контуру, выполняется быстродействующей вычислительной машиной приблизительно за миллисекунду. [c.30] Конечно, по мере того как возрастает количество уравнений,/увеличивается время, требуемое для получения решения. [c.30] Если время решения становится чрезмерно большим, чтобы ускорить сходимость и уменьшить общее время вычислений. [c.30] На аналоговых вычислительных машинах уравнения решаются, как уже указывалось, принципиально иным методом. Аналоговая машина состоит из отдельных решающих элементов, каждый из которых выполняет элементарную математическую операцию (например, с-иожение, умножение на постоянную величину, интегрирование), п нелинейных блоков, воспроизводящих нелинейное функции. Решение уравнений, независимо от их тина, порядка и линейности, сводится к установлению простых связей между отдельными элементами аналоговой машины, соответствующих виду уравнения. Результат решения получается путем непосредственного измерения изменяющихся напряжений в определенных точках схемы. В качестве основного решающего элемента используется операционный усилитель постоянного тока с большим коэффициентом усиления, который может быть применен как сумматор, инвертор и интегратор. [c.31] Блок-схема п график решения системы двух алгебраических уравнений. [c.32] Поскольку электронные усилители не являются безынерционными, то проходит конечный промежуток времени прежде чем достигаются установившиеся значения величин X и У. Как видно из рис. П-4, время, требуемое для окончания решения, составляет несколько десятых миллисекунды. Но для любых практических целей можно считать, что решение получается мгновенно. [c.32] График решения снстеми алгебраических уравнений на аналоговой машине. [c.33] Каждой величине Ъ соответствуют определенные значения решения уравнений относительно X и У. Несколько видоизмененная по сравнению с предыдущим случаем блок-схема этого решения на аналоговой машине показана на рис. П-5. [c.33] Как мы заметили выше, изменения величин X и У от начала решения до состояния равновесия для каждого 2 можно считать мгновенными. При этом можно получить решение относительно X и У при изменении величины X во времени. Фактически X может меняться случайно, и получающиеся величины X и У будут соответствовать точному решению уравнения в каждый момент времени (рис. П-6). [c.33] Для лучшего представления схемы решения этих уравнений лтожно составить блочно-поточно-информационную схему, на которой виден путь следования сигнала, как показано на рис. П-7. По существу эта схема говорит Если ЪжУ подставить в уравнение (а), оно может быть решено относительно X, так как единственная неизвестная величина, которая находится в левой части уравнения, вводится извне. Этот X подставляется затем в уравнение (б), которое решается относительно У, а получаемая величина У подставляется в уравнение (а) . [c.33] Более общая схема решения этой системы дана на рис. П-8. Она означает Любой величине 2 будут немедленно соответствовать определенные величины X и У . Читатель может попытаться мысленно представить себе, как при изменении входной величины вычислительная машина автоматически и немедленно производит вычисления соответствующих X и У согласно заложенной блок-схеме решения. [c.33] На рис. 11-10 графически показан ход решения в этом случае. Можно видеть, что с каждым циклом вычисления мы удаляемся от решения, которое находится в точке пересечения двух прямых. [c.34] Такое явление называется расходимостью. При этом как аналоговые, так и цифровые вычислительные машины быстро приходят г. режим аварийной остановки. В задачу исследователя не входит вмявление математических причин расходимости решения линейных и нелинейных уравнений, он должен лишь осознавать, что система уравнений может быть плохо скомпонована, из-за чего появятся трудности при получении решения. [c.34] Важно отметить, что когда система уравнений описывает устойчивую физическую систему, то всегда удается выбрать последовательность вычислений, называемую естественным расположением, которая приведет к устойчивому решению. В последующих главах показано, как эти естественные расположения могут быть определены для различных физических систем. [c.34] Можно также найти устойчивые схемы решения чисто математическими средствами. Например, каждое из двух уравнений, которые только что рассматривались, должно быть решено относительно той неизвестной (X или У), при которой в данном уравнении коэффициент пмеет наибольшее значение. Другими словами, это означает, что 1 аждое уравнение решается относительно наиболее значимой неизвестной переменной. [c.34] Входная и выходная информация при решении системы алгебраических уравнений. [c.34] Вернуться к основной статье