ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Система акустических уравнений и ее упрощение (линеаризация) из "Газодинамические процессы в трубопроводах и борьба с шумом на компрессорных станциях" При решении задач о движении сплошной среды с малыми возмущениями предполагают, что скорость, плотность, давление и их производные по координатам и по времени представляют собой неизвестные величины первого порядка малости. Это позволяет нелинейные уравнения газодинамики аппроксимировать линейными дифференциальными уравнениями, как это обычно делают в акустике. [c.12] Многие акустические задачи решены именно в такой постановке. Примером может служить задача о распространении периодических волн слабой интенсивности в трубопроводах низкого или среднего давления. [c.12] К этому классу задач относится также задача об определении потенциала скоростей возмущенного баротропного движения газа, которая в случае малых возмущений сводится к решению волнового уравнения при определенных условиях краевых, начальных или других. Примером баротропного процесса может служить изотермическое движение газа, подчиняющегося уравнению Клапейрона. [c.12] Следует, однако, заметить, что в общем случае при движении жидкостей и газов условие баротропии не выполняется, и для того, чтобы описать такие движения, необходимо ввести дополнительные уравнения термодинамической природы. В тех случаях, когда рассматриваются движения, связанные с учетом вязкости и теплопроводности при распространении волн с большой амплитудой, приходится обращаться к нелинейным дифференциальным уравнениям. Такие движения изучаются, например, в нелинейной акустике (задача о распространении волн конечной амплитуды) и в некоторых задачах газодинамики трубопроводных систем высокого давления. [c.12] Это - уравнение переноса теплоты в вязкой теплопроводной среде. Левая часть уравнения - сумма субстанциональной производной изменения энтропии частицы вещества и количества теплоты, получаемого единицей объема за единицу времени, правая часть - сумма двух слагаемых, обусловленных соответственно вязкостью (превращением механической энергии в тепловую) и теплопроводностью (вследствие нагревания или охлаждения вещества). Энтропия среды в данном случае возрастает и приводит к неадиабатичному движению. [c.14] Отклонением от адиабатичности можно пренебречь, полагая, что вязкость среды слабо влияет на распространение волны. Это позволяет линеаризовать уравнение (1.12) и считать, что диссипативные процессы линейны. [c.14] Уравнения (1.21) и (1.11) можно назвать линеаризованными по сравнению с нелинейной системой (1.5), так как оно получено из нее путем линеаризации, заключающейся в отбрасывании малых второго и выше порядков. Необходимо исследовать, всегда ли допустима такая операция. [c.15] Здесь для упрощения записи пренебрегаем теплопроводностью в выражении (1.20) для обобщенной вязкости. [c.15] Поскольку от выбора постоянных величин не должны зависеть характерные физические особенности течения, инвариантность уравнений (1.22) и (1.23) относительно преобразования (1.25) позволит найти параметры, определяющие течение. [c.16] Из этих уравнений следует вывод, что для дозвуковых скоростей с небольшим отношением конвективным слагаемым в (1.27) можно пренебречь. [c.16] Таким образом, уравнения линейной акустики правомерно применять только в тех случаях, когда безразмерные числа М, Ке 1. Во всех практических задачах как линейной, так и нелинейной акустики требование М 1 выполняется. Второе условие - малости акустического числа Рейнольдса (Ке 1) -часто нарушается, и переход от нелинейной системы к линейной становится неприемлемым. Эти оценки являются весьма предварительными и для установления пределов применимости акустических приближений нуждаются в экспериментальной проверке. [c.17] Вернуться к основной статье