ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Математические модели процессов и их роль в решении оптимальных задач из "Методы оптимизации в химической технологии издание 2" По отношению к процессу входные и управляющие параметры можно считать внешними, что подчеркивает независимость их значений от режима процесса. Напротив, выходные параметры или параметры состояния в данном случае определяются как внутренние, на которые непосредственно влияет режим процесса. Возмущающие параметры при этом могут относиться и к внешним, и к внутренним. Например, неконтролируемые примеси в исходном сырье можно рассматривать как внешнее возмущающее воздействие, а изменение активности катализатора с течением времени — как внутреннее возмущение.. [c.25] Однако в любом случае действие возмущающих параметров проявляется в том, что параметры состояния процесса при известной совокупности входных и управляющих параметров характеризуются неоднозначно. Процессы, в которых влияние случайных возмущающих параметров велико, обычно называют стохастическими в отличие от детерминированных, для которых предполагается, что параметры состояния однозначно определяются заданием входных и управляющих воздействий. [c.25] Для изучения стохастических процессов обычно используют математический аппарат теории вероятностей, при помощи которого параметры состояния оцениваются в терминах математического ожидания, а возмущающие параметры характеризуются вероятностными законами распределения. [c.25] Изложение методов оптимизации в последующих главах относится лишь к детерминированным процессам, поэтому в дальнейшем, как правило, принимается, что случайные возмущающие па-раметры в них отсутствуют. [c.25] Если вид соотношений (1,29) известен, то говорят, что известна математическая модель процесса. [c.26] При решении задачи оптимизации, т. е. задачи определения наибольшего или наименьшего значения / , критерий оптимальности рассматривается как функция управляющих параметров щ. При этом всякое изменение значений указанных параметров двояко сказывается на критерии оптимальности. Во-первых, прямо, если управляющие параметры непосредственно входят в выражение критерия оптимальности, и, во-вторых, косвенно, через изменение выходных параметров процесса, которые зависят от управляющих на основании соотношения (1,29). [c.26] Из сказанного выше следует, что задача оптимизации решается лишь тогда, когда известен вид зависимости выходных параметров процесса х от входных (° и управляющих и, т. е. вид соотношений (1,29а). Эту зависимость можно вывести только в результате предварительного изучения свойств оптимизируемого процесса, аналитическое выражение которых и составляет математическое описание процесса. [c.26] Математическое описание каждого процесса задается системой конечных или дифференциальных уравнений, отражающих взаимное влияние различных параметров, причем присутствие в математическом описании уравнений одного вида (например, конечных) не исключает возможности присутствия и уравнений другого вида (дифференциальных). Обычно параметры состояния. xl входят в эти уравнения в неявном виде. Поэтому для вывода соотношений (1,29), используемых при решении задачи оптимизации, систему уравнений математического описания необходимо разрешить относительно выходных параметров или параметров состояния. [c.27] Получение соотношений (I, 29) в явном аналитическом виде непосредственно из уравнений математического описания, как правило, невозможно. Вследствие этого для нахождения вида указанных зависимостей необходимо иметь определенный алгоритм решения системы-уравнений математического описания, применяя который для любой совокупности значений входных и управляющих параметров можно рассчитать параметры состояния. [c.27] Таким образом, математическая модель представляет собой систему уравнений математического описания, отражающую сущность явлений, протекающих в объекте моделирования, которая с помощью определенного алгоритма позволяет прогнозировать поведение объекта при изменении входных и управляющих параметров. [c.27] Большая часть методов решения оптимальных задач основана на предположении, что математическая модель оптимизируемого объекта известна. Более того, многие методы оптимизации используют конкретные свойства объекта и его математического описа-, ния. Например, для многостадийных процессов эффективным методом оптимизации является динамическое программирование для процессов, описываемых дифференциальными уравнениями, — принцип максимума. [c.27] Отсюда следует, насколько важно иметь математическую модель процесса, которая позволяет, не затрагивая сам процесс, определить, какое решение нужно принять, чтобы улучшить его режим. При этом эксперимент на процессе фактически заменяется экспериментом на его модели. [c.28] Очевидно, что для успешного использования математической модели при решении задач оптимизации необходимо, чтобы модель достаточно верно описывала качественно и количественно свойства объекта моделирования, т. е. она должна быть адекватна моделируемому объекту. Для проверки адекватности математической модели реальному процессу нужно сравнить результаты измерения на процессе с результатами предсказания модели в идентичных условиях (при определённых значениях входных и управляющих параметров). Поэтому всегда желательно, перед тем как приступить к решению оптимальной задачи, удостовериться в адекватности имеющейся модели. С одной стороны, такая проверка позволяет оценить точность математической модели и, следовательно, возможность ее применения для целей оптимизации. С другой стороны, она может быть использована для устранения систематических ошибок в результатах моделирования, обусловленных неточным заданием в уравнениях математического описания ряда численных параметров, значения которых нельзя задать достаточно точно, исходя только из теоретических соображений или из предшествующего опыта. [c.28] На практике все же приходится считаться с тем, что никакая модель не может полностью заменить моделируемый объект, и мириться с необходимостью применения моделей, которые лишь с тем или иным приближением предсказывают поведение реального объекта. В значительной степени это обусловлено наличием в процессе возмущающих параметров, вносящих определенный шумовой фон в результаты измерений на реальном объекте. В таких случаях, если указанный фон недопустимо велик, нужно проводить дополнительные исследования для выявления возмущающих параметров процесса с последующим учетом их (уже в качестве входных) в составе математического описания. [c.28] Решение задач оптимизации и сопутствующих им задач математического моделирования связано, как правило, с выполнением довольно значительного объема расчетов. Этим до некоторой степени объясняется то, что до создания вычислительных машин, способных быстро и точно производить большой объем вычислительной работы, методы оптимального проектирования практически не имели широкого распространения. Появление вычислительных машин позволило качественно изменить отношение исследователя к задачам оптимизации, где от него теперь требуются предельно точная формулировка задачи и разработка алгоритма ее решения. [c.29] В настоящее время для решения вычислительных задач используют в основном аналоговые и цифровые [5, 6] вычислительные машины. Кроме того, разрабатываются также гибридные вычислительные машины [7], сочетающие преимущества обоих типов машин. Для преодоления трудностей, обусловленных программированием вычислительных алгоритмов на конкретных цифровых машинах, созданы различные языки программирования, к числу которых относятся АЛГОЛ [8], ФОРТРАН и т. п. Современные вычислительные машины, как правило, снабжаются соответствующими трансляторами, что делает их доступными любому вычислителю, знакомому с данным алгоритмическим языком. [c.29] Вернуться к основной статье