ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Экстремумы функций многих переменных из "Методы оптимизации в химической технологии издание 2" Решение задачи оптимизации существенно усложняется, когда критерий оптимальности является функцией нескольких независимых переменных даже при известном аналитическом выражении этой функции. Наибольшие трудности возникают при отсутствии непрерывности у всех или некоторых производных оптимизируемой функции. В последнем случае для решения оптимальной задачи целесообразно использовать методы нелинейного программирования (см. главу IX).. [c.97] Ниже рассмотрены необходимые и достаточные условия лишь для непрерывных функций, имеющих к тому же непрерывные про -изводные первого и второго порядков. [c.97] Для того чтобы проверить, действительно ли точка x f (t = 1,. .., п), координаты которой удовлетворяют системе уравнений (111,3), является точкой экстремума функции (111,2), уже недостаточно проверки экстремальности по всем переменным в отдельности. [c.98] Вычисление вторых производных по каждой из координат в новой системе теперь дает . [c.99] Из уравнений (ж) следует, что изучаемая точка не является экстремальной, так как по переменной х функция (111,5) имеет минимум, а попеременной 2 максимум. Нетрудно представить вид поверхности, описываемой выражениями (III, 4) или (111,5). Она представляет собой седло (рис. II1-8), имеющее точку, в которой первые производные функции по обеим переменным обращаются в нуль. [c.99] Аналогично раскрываются и члены более при большем числе независимых переменных. [c.100] Из выражения (III, 11) следует, что знак приращения функции SR в достаточно малой окрестности точки з определяется производными второго порядка от R(x) по всем переменным, включая, и смешанные производные. Для того чтобы точка xW являлась точкой экстремума функции R(x), достаточно при любых малых приращениях независимых переменных 6 правой части выражения (111,11) оставаться положительной для точки минимума и отрицательной для максимума. [c.100] Таким образом, если решен вопрос о положительной определенности квадратичной формы (III, 12), где коэффициенты рассчитываются по формулам (111,13), то тем самым решается задача и о типе точки (ft), координаты которой удовлетворяют системе уравнений (111,3), исследуемой на экстремум. [c.101] когда квадратичная форма, соответствующая правой части выражения (III, 11), оказывается положительно определенной, исследуемая точка является точкой минимума. [c.101] Рассмотрим некоторые частные случаи достаточных условий экстремума, которые могут быть получены из условий Сильвестра (111,14). [c.102] Подставляя в соотношение (III, 17), которое должно выполняться для экстремальной точки любого типа, значения производных из выражений (в) и (и), получим, что это условие не выполняется. Следовательно, функция R(XI,XZ), определяемая выражением (111,4), в точке с координатами (б) не имеет экстремума, что и было получено ранее с использованием вращения осей координат. [c.102] Достаточным условием минимума для функции трех переменных является положительность всех трех миноров (III, 19) —(111,21), т. е. [c.102] Достаточным условием максимума служит положительность четных миноров (111,20) и отрицательность нечетных миноров (111,19) и (111,21), т. е. [c.103] Аналогичным образом могут быть получены достаточные условия и при большем числе переменных. [c.103] Вернуться к основной статье