ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Вычислительные аспекты вариационного исчисления из "Методы оптимизации в химической технологии издание 2" Аналогично тому, как в обычном анализе ставятся задачи с ограничениями типа равенств, в вариационном исчислении также возможны задачи, в которых требуется найти экстремум некоторого функционала при условии, что искомая функция (или несколько функций) удовлетворяет дополнительным соотношениям. [c.220] Таким образом, рассматриваемая задача оптимизации реактора идеального вытеснения сведена к вариационной задаче отыскания экстремума функционала (V, 112) при дополнительном условии (V.113), т. е. к изопериметрической задаче. [c.221] Заметим, что в отличие от задач на условный экстремум в обычном анализе, где число ограничений типа равенств не может превышать число независимых переменных или быть равным ему, в изопериметрических задачах вариационного исчисления число дополнительных условий п типа (V, 118) может быть произвольным и в частности большим, чем число искомых функций т. [c.222] Таким образом, поставленная оптимальная задача сведена к вариационной задаче с функционалом (ж) и с ограничением (и) неголономного типа. [c.223] При интегрировании системы уравнений (V, 125) переменные kh можно рассматривать как некоторые функции независимой переменной t, которые подлежат исключению с помощью условий (V, 122). При этом постоянные интегрирования в решении системы дифференциальных уравнений (V, 125) определяются граничными условиями или условиями трансверсальности для функций Xi(t) (i= 1,. .., m). [c.224] Система уравнений (V, 126) для неголономных связей, наоборот, должна интегрироваться совместно с условиями (V, 121) как с системой дифференциальных уравнений первого порядка. В результате получается система т -f- n дифференциальных уравнений, включающая т уравнений второго порядка относительно неизвестных функций Xi(t) и п уравнений первого порядка относительно функций kh(t). Общий интеграл этой системы содержит 2т + п произвольных постоянных интегрирования, для нахождения которых могут быть использованы только 2т соотношений, задаваемых граничными условиями или условиями трансверсальности для функций Xi(t) (i= I,. .., m). [c.224] Уравнение (V, 133), которому удовлетворяют экстремали функ ционала (V, 48), обычно оказывается нелинейным дифференциаль ным. Поэтому его решение в аналитическом виде можно получить лишь в сравнительно редких случаях. Как правило, для решения уравнения Эйлера необходимо использовать численные методы несмотря на все трудности, возникающие при их применении к решению краевых задач с граничными условиями, которые заданы на обоих концах интервала интегрирования. [c.225] Частные случаи решения уравнения Эйлера. Представляет интег рее рассмотреть ряд случаев, когда решение уравнения (V, 133) существенно упрощается вследствие специфического вида подынтегрального выражения функционала, т. е. функции ф. [c.225] Коэффициент при — х в последнем выражении представляет собой уравнение (V, 139), что и доказывает справедливость соотношения (V, 141). [c.226] Как и в предыдущем случае, первый интеграл (V, 140) есть дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого может быть записано в форме (V, 138). [c.227] В данном случае простой проверкой можно убедиться, что уравнение (V, 133) превращается в тождество. Это означает, что любая функция x(t), удовлетворяющая граничным условиям задачи, является экстремалью функционала (V..48). [c.227] На основании условия (V, 143) выражение, стоящее под знаком интеграла, есть полный дифференциал, т. е. величина инте-,грала не зависит от пути интегрирования [5] или, другими словами, величина функционала не зависит от вида функции х(t). [c.227] Численное интегрирование уравнения Эйлера. Как уже отмечалось выше, уравнение Эйлера (V, 133) обычно представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение, аналитическое решение которого чаще всего найти нельзя. Кроме того, весьма существенным является то, что решение уравнения (V, 133) должно удовлетворять граничным условиям в двух точках экстремали, которые в простейшем случае имеют вид соотношений (V, 135). [c.227] Именно это обстоятельство, т. е. необходимость выполнения граничных условий, заданных в различных точках экстремали, зачастую и осложняет получение численного решения. Для того чтобы понять, какие при этом возникают трудности, рассмотрим простейший метод численного интегрирования дифференциальных уравнений, используемый для выполнения расчетов на вычислительных машинах. [c.227] С учетом выражения (V, 147) дифференциальное уравнение (V, 145) теперь может быть заменено следующим разностным уравнением . [c.228] Соотношение (V, 148) позволяет найти значение x(t- -kt), если известна величина x(t). Таким образом, оно может быть использовано как рекурентное соотношение для расчета значений функции x(t) при последовательных значениях независимой переменной, равных ° + А/, 0) + 2А/, ° + ЗА/ и т. д., поскольку при / = °) значение х( ) известно в соответствии с начальным усло- вием (V,.H6). [c.228] Существенный момент применения рассмотренного метода — выбор величины шага интегрирования А/. С одной стороны, чем меньше принятое значение А/, тем точнее аппроксимация (V, 147) и, следовательно, меньше ошибка интегрирования. С другой стороны, время, необходимое для определения решения в заданном интервале [ °), ] изменения независимой переменной t, возрастает с уменьшением величины шага интегрирования пропорционально 1/А/. По этой причине разработан целый ряд методов [6], основанный на замене дифференциального уравнения (V, 145) более точным разностным уравнением, чем уравнение (V, 148). [c.228] Общим недостатком, присущим различным методам интегрирования уравнений лишь в большей или меньшей степени, является возможность появления неустойчивости решения, т. е. увеличения погрешности получаемого решения, обусловленной аналитическим, видом интегрируемого уравнения и вычислительными трудностями, важнейшая из которых — конечная точность представления чисел в процессе выполнения расчетов. [c.228] Для того чтобы рассмотреть причины указанной неустойчивости, проанализируем решение дифференциального уравнения (V, 145) с использованием конечно-разностного соотношения XV, 148). [c.228] Из выражения (V, 151) следует, что в зависимости от того, больше или. меньше единицы величина выражения, стоящего в фигурных скобках, ошибка в определении величины x(t) может либо увеличиваться, либо уменьшаться с возрастанием значения t. [c.229] Вернуться к основной статье