ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Оптимальная организация производства продукции при ограниченных запасах сырья из "Методы оптимизации в химической технологии издание 2" Если все Vh отрицательны, что соответствует выполнению условия (VIII, 222), то включение небазисного вектора Ah в исходный базис может вызвать увеличение критерия оптимальности. Если же все Vk, определенные для небазисных векторов, положительны, то дальнейшего увеличения критерия оптимальности не происходит. [c.455] Маргинальные значения Vk, описываемые соотношениями (VIII, 223), кроме этой чисто вспомогательной роли, представляют самостоятельный интерес в связи с так называемым принципом двойственности в задачах линейного программирования. Он заключается в следующем [2]. [c.455] Найденные маргинальные значения отрицательны, следовательно, можно получить большее значение критерия оптимальности. [c.457] Таким образом, результаты, полученные при решении указанных задач, оказываются идентичными, если принять во внимание соответствие между независимыми переменными одной задачи и маргинальными значениями другой. Однако необходимый объем вычислений при решении двойственной задачи в примере VIII-7 оказался меньше. Так, для решения исходной задачи потребовалось два шага сиплексного метода, тогда как для решения двойственной задачи — всего один шаг. Кроме того, если при решении исходной задачи пришлось оперировать с обратными матрицами базиса третьего порядка, то при решении двойственной задачи обратные матрицы базиса имели порядок, равный двум. [c.464] Эти обстоятельства иногда позволяют использовать принцип двойственности в задачах линейного программирования для сокращения объема вычислений в процессе решения задачи и экономии необходимого объема запоминающих устройств вычислительной машины. Поскольку результаты решения исходной и двойственной задач совпадают, можно так выбрать представление решаемой задачи, чтобы обеспечить выполнение матричных операций с матрицами меньшего порядка. При этом руководствуются правилом если число независимых переменных п в исходной задаче меньше числа ограничений т, то имеет смысл решать двойственную задачу, поскольку вместо операций с матрицами порядка т будут производиться операции с матрицами порядка п (согласно числу ограничений двойственной задачи). [c.464] Остается установить соответствие между переменными исходной задачи и двойственной, чтобы иметь возможность интерпретировать получаемые результаты независимо от того, в результате решения какой задачи они получены. [c.464] Рассмотрим это соответствие в терминах исходной задачи, предполагая, что основные переменные имеют индексацию от 1 до п, а дополнительные — от п -f- 1 до п + w. Тогда маргинальные значения исходной задачи с индексацией от п + 1 до п + т будут соответствовать основным переменным двойственной задачи, имеющим индексацию от 1 до т, а маргинальные значения с индексацией от 1 до п — дополнительным переменным двойственной задачи с индексацией от т + 1 до т -f- п. [c.464] Следует еще отметить, что двойственная задача имеет определенный физический смысл, соответствующий постановке исходной задачи. Подробнее об этом сказано ниже при рассмотрении конкретного химического производства. [c.465] В практике производств встречаются случаи, когда при получении исходное сырье используется не полностью, а остается в отходах, откуда его можно затем выделить и снова направить в производство. Кроме того, в процессе получения определенного целевого продукта могут образовываться побочные продукты, представляющие самостоятельную ценность или же применяемые как сырье в других процессах. Все это приводит к необходимости совместного изучения ряда процессов, для чего могут быть использованы методы линейного программирования. [c.465] В табл. 12 приведены количества различных видов сырья, требуемые для получения единицы основной продукции каждого из процессов. . [c.466] Отрицательные коэффициенты в строках таблицы указывают на то, что этот вид сырья — побочный продукт в данном процессе. В нижней строке табл. 12 приведены запасы сырья в момент планирования производства. [c.466] Поясним физическую сущность двойственной задачи. Поскольку размерность правых частей ограничений (VIII, 288) имеет смысл стоимости единицы продукции, очевидно, что размерность переменных Vi двойственной задачи также должна представлять собой стоимость и может рассматриваться как стоимость каждого вида сырья. При этом левые части неравенства (VIII, 288) характеризуют суммарные затраты на различные виды сырья при производстве единицы каждого продукта. [c.467] С учетом того, что критерий оптимальности двойственной задачи (VI II, 287) в данном случае определяет общую стоимость запасов сырья, цены которых являются независимыми переменными двойственной задачи, для нее может быть принята следующая формулировка. [c.467] Соотношение (VIII, 229), описывающее связь между максимальным значением критерия оптимальности исходной задачи и минимальным значением критерия двойственной, в этом случае означает, что при оптимальном плане производства, т. е. оптимальных значениях л г-, и при оптимальных ценах на сырье, т. е. оптимальных значениях ог-, максимальная прибыль от реализации продукции равна стоимости сырья, имеющегося в наличии к моменту начала выпуска продукции. [c.467] Дополнительные переменные в системе ограничений (VIII, 289) образуют единичную подматрицу, которая может использоваться в качестве начального базиса. [c.468] Вернуться к основной статье