ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Восстановление значений дискретно заданных аномалий из "Спектральный анализ гравитационных и магнитных аномалий" При решении многих задач гравиразведки и магниторазведки почти всегда приходится иметь дело с аномалиями, заданными в дискретных точках, поэтому необходимо пользоваться рядами, представляющими аномалии через их значения, заданные в дискретных точках. Рассмотрим такие ряды для двумерных и для трехмерных осесимметричных аномалий и определим выражение спектров для дискретных аномалий. В первом случае, т.е. для двумерных аномалий, таким рядом является ряд, определяемый теоремой В.А. Котельникова. Рассмотрим вначале эту теорему. [c.29] Известно, что спектры гравитационных и магнитных аномалий и их производных - быстро затухающие функции и, начиная с некоторой граничной частоты со , они будут иметь очень малые значения. Поэтому всегда можно найти такое значение ( г, за которым энергия аномалии составит незначительную долю от общей энергии спектра, и этим значением Юг можно ограничить спектр аномалии. Аномалии с ограниченным спектром обладают замечательным свойством, которое определяется теоремой В.А. Котельникова, имеющей огромное значение в теории связи. Свойство это состоит в том, что, если в общем случае для точного воспроизведения произвольной функции на каждом конечном интервале необходимо знать значения функции во всех точках этого интервала (бесконечное число значений на конечном интервале), то для функций с ограниченными по частоте спектрами достаточно знать значения функции лишь в отдельных точках (конечное число значений на конечном интервале). Теорема В.А. Котельникова заключается в следующем. [c.29] Свойство спектра ограниченной по оси функции аналогично свойству функции с ограниченным спектром, которое следует из теоремы В.А. Котельникова. [c.31] Рассмотрим два примера. [c.31] Эта формула определяет связь между энергетическим спектром с ограниченной полосой (-со,, со,) и отсчетными значениями автокорреляционной функции. [c.31] Эта формула определяет связь между ограниченной интервалом (-Тг, Тг) автокорреляционной функцией и дискретными значениями энергетического спектра. [c.32] Теорему Котельникова для усредненных параметров источников полей можно распространить и на случайные процессы. [c.32] В теореме Котельникова значения функции f(x) с ограниченным спектром определялись через дискретные значения этой же функции, заданные в точках kAx при Ах = п/а) . Существуют и другие способы определения функции через ее дискретные значения. К ним относятся различные ряды, аппроксимирующие исследуемые функции на некотором интервале горизонтальной оси координат, например, тригонометрические ряды. [c.32] Теорема Котельникова имеет большое значение при исследовании трансформаций, построении вычислительных схем и учете дискретности аномалий. Рассмотрим применение теоремы Котельникова для определения трансформированных значений аномалии fix) со спектром 5(о)), ограниченным частотами -СОг, tOf. К такой аномалии применимы формулы (1.78) и (1.79) первая из них определяет ее спектр, вторая - саму аномалию через ее же значения, заданные в равностоящих точках с интервалом Ах = тс/со,. [c.32] Таким путем при ю, = л можно получить, например, известную формулу Рейнбоу для аналитического продолжения аномалии в области нижнего полупространства и ряд других вычислительных схем. Формулы, подобные равенствам (1.81) и (1.82) можно получить и в более общем виде для функции Ф(со) произвольного вида (не только для четной функции). [c.34] Рассмотрим значения трехмерных аномалий. При этом остановимся только на значениях аномалий, симметричных относительно вертикальной оси (осесимметричные аномалии). [c.34] Пусть трансформанта Ханкеля (1.33) аномалии Дг), преобразованной способом с частотной характеристикой Ф(р), ограничена по частоте, т.е. [c.34] Из сравнения равенств (1.87) и (1.85) следует, что коэффициенты являются коэффициентами разложения функции Ф(р)/о(р ) в ряд Фурье - Бесселя. [c.35] Из последних двух формул видно, что получение трансформированных значений функции в различных точках г профиля трехмерного поля при постоянных значениях р, и R (при переменном г) сводится только к получению коэффициентов формулы Nk- Коэффициенты зависят от значений г, поэтому будут меняться от точки к точке. При г = О этот недостаток отпадает и формулу (1.87) можно применить для получения вычислительных схем. [c.35] Примеры практического применения указанного способа для получения вычислительных схем для случаев различных трансформаций даны в работах [13, 38]. [c.36] Формула (1.90) верна для всех значений р из интервала (О, рг), если числа Л определяются из равенства (1.88). Она же [следовательно, и формула (1.89)] верна и для всяких других значений / ,, определяемых из уравнения /о( ) = О, если при каждом г = к величина Л, / . Величины Л являются максимальными - не уменьшая точности невозможно брать Ri i . [c.37] Вернуться к основной статье