ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Выполнение трансформаций в частотной области из "Спектральный анализ гравитационных и магнитных аномалий" Выше были рассмотрены основные виды трансформации потенциальных полей, указаны пути получения вычислительных схем. Описанные выше способы решения различных интегралов, приводящие к получению вычислительных схем, можно рассматривать как некоторые пути получения алгоритмов при выполнении трансформаций в области полей с применением ЭВМ. Однако в последние годы, когда почти все операции по трансформации полей проводятся с применением ЭВМ, более точные результаты преобразования аномалий можно получить в частотной области. Именно поэтому вопросы получения, анализа и опробования вычислительных схем выше не были рассмотрены подробно. [c.70] Выполнение трансформаций в частотной области удобней, проще и дает более точные результаты. Схема выполнения трансформаций при этом очень простая. Она показана на рис. 5 и состоит из следующих операций, выполняемых последовательно 1) вычисление спектра 5 по аномалии, 2) определение или задание частотной характеристики трансформации Ф, 3) вычисление спектра трансформированной аномалии S , 4) вычисление значений трансформированной аномалии /г. Рассмотрим эти операции подробней. [c.70] Функция 5(со) является трансформантой Фурье аномалии fix) или ее спектром. Равенство (2.58) соответствует прямому преобразованию сЬурье и написано в симметричной форме. [c.70] Спектр 5 (со) в общем случае является комплексной функцией, т.е. [c.70] Формулу (2.58) можно рассматривать и как интегральное уравнение - она является интегральным уравнением Фред-гольма первого рода, а функция exp(-ta)x) - его ядром. Формула обратного преобразования Фурье дает решение этого интегрального уравнения. Согласно свойству ортогональности тригонометрических рядов функцию ехр(-гсод ) можно рассматривать как оператор, выделяющий из аномалии fix) составляющие с частотой (О. [c.72] Тогда произведение Дх Дсо = п/N. [c.73] Аналогично формуле (2.63) записывается и выражение обратного преобразования Фурье. Следует при этом иметь в виду, что получаемые из таких выражений и спектр, и аномалия являются дискретными и периодическими функциями. [c.73] Эта форма получена Ф.М. Гольцманом и дает более точные результаты, чем формула (2.66). При вычислениях значение Ах нужно выбрать таким образом, чтобы на самый узкий экстремум кривой fix) приходилось не менее четырех-пяти точек. [c.74] При практических расчетах эту формулу также можно расписать аналогично выражениям (2.69)-(2.72). [c.75] При вычислениях спектра полезно пользоваться следующими правилами. Если функция fix) задана аналитически, то лучше всего определить спектр, непосредственно вычисляя интеграл (2.58). [c.75] Такое прямое интегрирование является самой быстрой и точной операцией. При этом в необходимых случаях нужно пользоваться теоремами о спектрах, таблицами преобразований Фурье. Если функция fix) задана таблично или графиком, например, по данным полевых наблюдений, как это часто бывает на практике, то наилучшие результаты можно получить, если аппроксимировать ее различными аналитическими выражениями, иногда и несколькими - двумя или тремя (на различных интервалах горизонтальной оси). Затем спектр такой функции можно определить прямым интегрированием по формуле (2.58) с применением полученных выражений. В качестве таких выражений лучше всего использовать простейшие, соответствующие прямым, параболам, экспоненте, частям тригонометрических функций. В случаях, когда трудно или невозможно выразить заданную функцию fix) аналитически, необходимо пользоваться численными способами интегрирования с использованием различных алгоритмов, например, формул (2.58)-(2.72). [c.75] Существуют различные способы, позволяющие вычислить значения спектров с применением ЭВМ. К ним относятся различные способы, реализующие непосредственно выражения вида (2.72), (2.74), способ быстрого преобразования Фурье (БПФ) и другие. Главное преимущество способа БПФ перед другими состоит в увеличении скорости вычислений из-за меньшего числа операций точность получаемых значений спектра при этом не увеличивается. Описание этих способов можно найти в соответствующих работах. Отметим лишь, что при вычислении энергетических спектров хорошие результаты дает так называемый способ максимальной энтропии. Он является адаптивным, лучше передает частотный состав функции и имеет более высокую разрешающую способность. [c.76] Во всех случаях вычисления спектров получаемые значения спектров рекомендуется сглаживать. [c.76] Определение спектра трансформированной аномалии по выражениям (2.75) не вызывает особой трудности и не требует специальных объяснений. [c.77] Последние две формулы и формулы (2.58) и (2.73) похожи по своей структуре, вычисляются по схожим алгоритмам и поэтому не требуют специального рассмотрения. Так же как и при вычислении спектра, существуют различные профаммы, реализующие обратное преобразование Фурье, обеспечивающее достаточную точность вычислений. [c.77] В случаях вычисления таких трансформаций, как высшие производные, аналитическое продолжение аномалий в нижнее полупространство и им подобные, частотные характеристики которых возрастают с увеличением частоты, получаемые значения необходимо сгладить. С этой целью подынтегральные выражения формул (2.76) и (2.77) необходимо умножить еще и на частотную характеристику способа сглаживания. [c.77] В заключение еще раз отметим, что в настоящее время существуют различные способы, реализующие с применением ЭВМ с высокой точностью прямые и обратные преобразования Фурье. А проведение промежуточной операции - определение спектра трансформированной аномалии - не представляет никакой трудности - его определяют простым умножением двух функций. Это и обеспечивает более простую схему вычислений и более высокую точность проведения трансформаций в частотной области. Причем одинаковым образом реализуются все виды трансформаций, независимо от их степени сложности. [c.77] Вернуться к основной статье