ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Теория момента количества движения из "Квантовая механика и квантовая химия" Момент количества движения, или момент импульса, в квантовой механике играет не менее существенную роль, чем в классической. Выше мы уже упомянули, что в классической механике момент количества движения частицы в центральном поле сохраняется. Следовательно, он сохраняется и у свободной частицы и у системы частиц, на которую не действуют внешние силы, либо момент внешних сил, действующих на эту систему, равен нулю. Знание таких сохраняющихся при движении величин (их также называют интегралами движения) всегда полезно, хотя бы по той причине, что если Лх,у, г) = с, то из этого соотношения можно выразить, например, х через у и2 х = х(у, г) подставив это соотношение в уравнения движения, можно исключить переменную X из этих уравнений и уменьшить число фигурирующих в них переменных. Посмотрим теперь, что можно сказать о моменте импульса в квантовой механике. [c.92] Такое представление оператора отчетливо показывает, что его можно рассматривать как оператор импульса, канонически сопряженного координате ф. [c.93] Сравнение этого выражения с в гамильтониане (2.1.5) показывает, что они совпадают друг с другом, так что Д есть не что иное, как оператор квадрата момента импульса частицы. [c.94] Следовательно, все операторы коммутируют с но не коммутируют друг с другом. [c.94] Это означает, что 1(1 + 1) - т(т + 1) = 0и/(/+ 1) - т(т - 1) = 0. У первого из этих уравнений (относительно т ) решения т=1 или = -(/ + 1), причем второе противоречит неравенству (14). У второго по тем же причинам остается в качестве решения лишь т = -I. Таким образом, собственные значения оператора Ь при заданном I меняются от -/ до +/ через единицу, пробегая всего 21 + 1 значений -/ + 1,- I, /, Каждому из этих значений отвечает своя собственная функция причем по отношению к оператору все эти 21 + 1 функции являются собственными с одним и тем же собственным значением 1(1 + 1). [c.97] Подобное же соотношение можно написать и для оператора Таким образом, операторы Ь и переводят функцию Ч в линейную комбинацию (при т = 1) двух собственных функций с собственными значениями т I. [c.98] При этом для каждого значения 1 будет иметься весь набор функций, собственных для с собственными значениями /и от -/ до +/. [c.102] Такое построение наглядно представляется векторной моделью, т.е. моделью сложения векторов, как показано на рис. 2.2.3. При этом надо ясно понимать всю условность подобной картины. Векторы и Ц определены подлине на функциях Ч /,,т Ч /2,т2 и на их линейных комбинациях, поскольку и те и другие будут собственными и для, и для. В то же время проекции , и на линейных комбинациях, собственных дляв общем случае не определены, поскольку т = т + т = т - ) + (т + 1) =. ... Определена только лишь проекция По этой причине изображение векторов Ь и на рисунке не вполне адекватно тому, что должно бы быть. Лучше было бы иметь, например, систему накладывающихся рисунков, отвечающих одному и тому же вектору Ь, но со всеми возможными парами проекций для Ь, и Ц т , т , ш, - 1, /и + 1 и т.д. [c.102] Построение собственных функций оператора и по собственным функциям и ь носит название сложения моментов. Иллюстрацией этого сложения и является рис. 2.2.3. [c.103] Если базисные функции гр. являются собственными для некоторого оператора В, то говорят, что оператор А задан в Д-представлении, например, если такими функциями служат собственные функции оператора импульса р, говорят о / -представлении (или, что то же самое, - об импульсном представлении) оператора А. [c.103] Нетрудно заметить, что по существу здесь скрыто общее утверждение любой эрмитов оператор представляется в собственном базисе диагональной матрицей из собственных значений. [c.103] Очень часто вместо пространственного изображения таких функций используют плоские сечения, отвечающие тому или иному фиксированному значению угла ф, причем в качестве такой плоскости используют ту, в которой лежит максимальное по модулю значение функции. Для функции гi JoB сечении (при любых ф и О) получится окружность, для функции г4) (при любом ф) - две соприкасающихся окружности, как показано на рис. 2.2.5, тогда как для функций и - такие же графики, что и для но при использовании сечений плоскостями Охг и Оуг соответственно. [c.106] Вернуться к основной статье