ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Колебания струны и случайные поля из "Стохастические процессы в физике и химии" Это приближенное соотношение (по крайней. мере до тех пор, пока мы не научимся различать и учитывать отдельные формы у х), т. е. пока не научимся интегрировать в пространстве функций у). [c.71] Примечание. В соответствии с этим вычислением среднее значение полной знергии оказывается бесконечным. Для физической струны это не является парадоксом, потому что выражение для энергии (3.5.2) становится неприменимым при слишком малых длинах волн. Однако аналогичное вычисление применимо к электромагнитным волнам, распространяющимся между двумя отражающими зеркалами при х = 0 и х=1. В этом случае можно ожидать, что формулы остаются справедливыми ири всех длинах волн, поэтому бесконечное значение энергии представляет собой проблему. Этот парадокс называется ультрафиолетовой катастрофой Рэлея—Джинса. Он был разрешен введением планковских квантов. [c.73] Здесь можно добавить, что эта трудность позже появится вновь, когда окажется, что каждый осциллятор обладает энергией в нулевой точке. Эта энергия существует также в пустом пространстве и не зависит от температуры. Следовательно, ее можно вычесть из полной энергии, что не должно отразиться на наблюдаемых фактах. Однако разность между энергией в нулевой точке поля между зеркалами и поля в вакууме не равна нулю и зависит от 1. Следовательно, это приводит к возникновению силы между зеркалами, которая является макроскопическим вариантом силы Вад-дер-Ваальса, действующей между молекулами. Эта сила подробно изучена . [c.73] Упражнение. Физик разложил бы у (х) по нормальным модам и зная, что средняя потенциальная энергия гармонического осциллятора равна применил формулу (3.5.6). Выведите таким путем формулу (3.5.5). Упражнение. В выражении (3.5.6) замените множитель 1/Р на распределение Планка и найдите таким способом квантово-механический аналог формулы (3.5.5). [c.73] Вычислите УуУм, в тепловом равновесии и покажите, что в этом случае не возникает трудностей с расходимостями. [c.73] В бесконечном пространстве нормальные моды образуют непрерывное множество и (3.5.8) должно быть интегралом. Это затрудняет применение (3.5.9), и поэтому все поле часто помещают в большой куб Q. В качестве граничных условий можно выбрать и = О на стенках Q, но нормальные моды принимают более простой вид, если потребовать, чтобы и были периодическими функциями с периодом Q. Результаты не зависят от этих манипуляций при условии, что Q в конечном счете устремляется к бесконечности. [c.74] Упражнение. Докажите, что (3.5.11) является общим решением и что изменяя его можно подобрать для любых заданных начальных значений и и д(и. [c.75] Упражнение. Вычислите и (Х1, 11)и хл, 1 ) для вибрирующей струны. Упражнение. Покажите, что (3.5.12) обращается в нуль внутри светового конуса и равно А7 /(4л Г1 — гг ) вне его. [c.75] Вернуться к основной статье