ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Построение границ устойчивости из "Вибрационное горение" Поскольку в реальных процессах высокие гармоники характеризуются нри прочих равных условиях повышенным рассеиванием энергии, то в случае возникновения неустойчивости рассматриваемая система скорее всего даст колебания с частотой первой гармоники (основного тона). Таким образом, проведенный расчет позволяет понять, как колебательная система выбирает частоту колебаний. [c.185] Диаграммы устойчивости для простейших случаев Располагаясь внутри или на границах найденных полос границы устойчивости, построенные с учетом краевых условий, могут давать различные конфигурации областей устойчивости. Покажем это для предельных случаев. Пусть длина пренебрежимо мала, т. е. вся труба занята горячими газами, а горение происходит во входном сечении. Тогда перед зоной горения должно выполняться принятое выше краевое условие pi = 0. Это сразу приводит к обращению в нуль второго слагаемого уравнения (24.5), и единственными границами устойчивости (вне зависимости от величины Uj) будут прямые ац = О и aji = О- Соответствующая диаграмма устойчивости приведена на рис. 35, а. Поскольку известно, что начало координат соответствует устойчивому режиму, область неустойчивости (заштрихованная часть диаграммы) находится сразу. На том же рисунке (диаграмма б) для полноты приведен случай, когда краевое условие при = О имеет вид 1 = О (закрытый конец). Тогда совершенно так же получаем границы в виде равенств ajg = О и agg = О для всех р . [c.188] Как видно из приведенного примера, конфигурация областей устойчивости может в рассматриваемом случае изменяться весьма сильно в зависимости от того, каковы величины / 1, 01, и Оа в плоскости подвода тепла. Такое разнообразие конфигураций связано, в частности, с тем, что границы устойчивости могут уходить в бесконечность. Если построить аналогичные границы в системе координат, принятой в 19, то случаи р = 0 и 1 = 0 дали бы совершенно однотипные конфигурации областей неустойчивости — окружности. Эти окружности приведены, например, на рис. 28. Что касается случаев / 2 = О и О2 = О, то в системе координат 19 построение областей неустойчивости не дало бы столь простых границ. Дело в том, что эта система предполагает ориентировку векторов и 1 в положительных направлениях осей координат, в то время как положение векторов р и остается произвольным. Это и ряд дополнительных трудностей делает нецелесообразным подробное рассмотрение границ такого рода. [c.190] Использование переменных Qp и хотя и усложняет конфигурации границ устойчивости, но зато может упростить анализ условий возбуждения, как это будет видно из содержания следующего параграфа. [c.190] Прежде чем перейти к вопросу о конфигурации границ устойчивости в плоскости параметров при и 2, одновременно отличных от нуля, укажем еще на одно свойство диаграмм устойчивости, приведенных на рис. 35. [c.190] Положив в (24.9) v = 0 (условие существования границы устойчивости), легко найти с учетом (23.2) и (24.3) уже известные границы устойчивости 21 = О и 22 = О, кроме того, еще Qp= со и = со. Совершенно так же доказывается это положение и для других типов диаграмм, приведенных на рис. 35. [c.191] Граннцы устойчивости для общего случая. Для построения границы устойчивости в общем случае целесообразно 1юступать следующим образом. [c.193] При Д = о система подлежит дополнительному исследованию. Если при этом одновременно оказывается, что Др = 0 (или Л = 0), то, как известно, уравнения (24.11) являются линейно зависимыми и их совокупность определяет не точку в плоскости параметров ( р, а прямую. Ниже этот случай будет рассмотрен лее подробно. [c.195] При движении по произвольной кривой в плоскости (v, (О) равенства (24.12) дают возможность находить соответствующую кривую в плоскости параметров (( , Q ). [c.195] Практически чаще всего приходится рассматривать движение в плоскости (v, со) по прямым, параллельным оси со. Эти прямые соответствуют режимам колебаний с постоянными значениями v. Здесь можно, в частности, рассмотреть режим с v = v, (v 0), т. е. с постоянным декрементом затухания колебаний режим v = Vj (V2 0), т. е. постоянным инкрементом возрастания колебаний, и, наконец, режим v = О — границу устойчивости. Последний режим представляет обычно наибольший интерес. Поскольку во всех этих случаях v = onst, то коэффициенты системы (24.11) становятся для каждой из соответствующих кривых в плоскости (Qp, Q .) функцией только одного параметра — частоты со. [c.195] Построив серию таких кривых для различных v = onst и для всех значений частот О со оо на каждой кривой ), можно получить полную и весьма наглядную картину поведения колебательной системы при любых Qp и Q . [c.195] Построение этих диаграмм является несложной, но достаточно утомительной работой. Припимая во внимание то, что с увеличением со в реальных систелшх заметно возрастают потери, при расчетах следует ограничиваться некоторой разумной величиной со. Обычно для грубого задания верхней границы со порядок ожидаемых частот можно оценить достаточно точно. [c.195] Чтобы дать наглядное представление о такого рода диаграммах, рассмотрим пример построения. Приведенный ниже пример является достаточно типичным, и в то же время выбран так, что построение линий v = onst оказывается возможным провести без утомительного вычисления координат точек этих кривых. [c.196] Найдем границу устойчивости. Для этого исследуем систему (24.13) при v = 0. [c.196] Сравнивая эти равенства с формулами (24.14) и (24,16), нетрудно видеть, что концы искомого отрезка лежат на прямых (24.15) II (24.17). [c.197] Следовательно, границами устойчивости в рассматриваемом случае будут две прямые, параллельные осям координат, и наклонный отрезок, лежащий между этими прямыми. [c.197] Построение границ устойчивости бывает полезно дополнить аналогичным вышеприведенному построением линий постоянных V. [c.197] Следует лишь учесть, что нри v О во все формулы вместо С] войдет а вместо g+ g надо будет писать ( j+ g) Осуществление этих расчетов совершенно элементарно и здесь излагаться не будет. Легко сообразить, что и в этом случае в рассматриваемом примере линиями постоянлых V будут служить прямые линии. [c.197] Диаграмма границ устойчивости и линий, равных V для е = 1,1 (V 0) и = (V 0), построенная по указанной здесь методике, дана на рис. 38. Построение выполнено для = 0,1, М.2 = 0,25. [c.198] Не следует думать, что для отделения областей устойчивости от областей неустойчивости необходимо, помимо, линий V = О, строить еще линии v О и v 0. Такой более ограниченный результат можно получить и проще, воспользовавшись так называемым правилом штриховки. Это правило часто используется в теории автоматического регулирования, где иногда носит название метода )-разбиения пространства параметров системы. Хотя этот метод используется в теории регулирования для характеристического уравнения, имеющего вид полинома, он остается справедливым и для трансцендентных уравнений. Желающим более полно ознакомиться с этим методом, полезно обратиться к специальным руководствам ). Здесь будет дано лишь краткое понятие об этом методе и указаны практические приемы пользования им. [c.199] Вернуться к основной статье