ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Частица в прямоугольной потенциальной яме из "Квантовая механика" В этой и следующей главах мы рассмотрим некоторые простые системы, для которых можно дать строгое решение уравнения Шредингера, определяющего стационарные состояния. Такие системы являются идеализацией систем, встречающихся в природе. Исследование простых идеализированных систем позволяет более полно понять методы квантовой. механики. Кроме того, полученные результаты имеют и самостоятельный интерес, так как они в некотором приближении отражают свойства соответствующих реальных систем. [c.108] Потенциальная энергия и оператор Гамильтона инвариантны относительно преобразования инверсии х- —х, поэгому (см. 18) все стационарные состояния относятся либо к состояниям положительной четности, либо к состояниям отрицательной четности. [c.109] Учитывая периодичность котангенса, можно получить из (25,11) уравнение, по форме совпадающее с трансцендентным уравнением (25,6). При п = 2, 4, б,. .. оно определяет значения соответствующие дискретным состояниям отрицательной четности. [c.111] Условие (25,12) всегда выполняется при п=. Следовагельно, симметричная одномерная яма с произвольными значениями а и 11а имеет не менее одного дискретного уровня энергии. Возможное число уровней в яме определяется максимальным зна-ченнем п, при котором еще выполняется неравенство (25,12). [c.111] Волновые функции (25,9) и (25,13) обращаются, в нуль при ж = а/2. Таким образом, мы видим, что граничные условия на поверхностях, где потенциальная энергия обращается в бесконечность (идеальные твердые стенки), сводятся к требованию, чтобы на этих поверхностях волновая функция обращалась в нуль (частица не может проникать в область 11 = оо), производная же по нормали к поверхности может имегь, вообще говоря, скачок. В случае конечных значений Uq частица может проникать и в область а/2. Волновые функции в этих областях будут совпадать с функцией (25,4), где А определяется для состояний положительной и отрицательной четностей соответственно через S и С с помощью уравнений (25,5) и (25,10) для каждого значения корня уравнения (25,6) и (25,11). [c.112] Когда а ф Ь Ф с, каждому значению энергии соответствует одна волновая функция (25,15). Другими словами, в системе отсутствуют вырожденные состояния. Этот результат непосредственно следует из свойств симметрии потенциальной энергии. Потенциальная энергия остается инвариантной при вращениях на 180° вокруг каждой из осей координат и при преобразовании инверсии [хуг- —х, —у, —г). Следовательно, симметрия поля относится к абелевой группе Огл,. В этой группе результат применения двух преобразований симметрии не зависит от того, в какой последовательности они выполняются. Все неприводимые представления этой группы одномерны, и вырождение отсутствует (см. 19). [c.113] Рассмотрим теперь одномерное движение частицы с энергией, превышающей высоту потенциальной ямы, т. е. при е С/о. [c.113] Решение первого типа соответствует движению частицы вдоль оси л, а решение второго типа — обратному движению частицы. [c.114] При такой нормировке потенциальной энергии состояниям непрерывного спектра соответствует энергия е 0. В этих состояниях частица свободно движется вне потенциальной ямы и может удаляться от нее как угодно далеко. [c.114] Таким же образам можно вычислить коэффициент отражения R и показать, что А = 1 — D. [c.115] Вернуться к основной статье