ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Области, ограниченные из "Устойчивость химических реакторов" Любая о-окружность, полностью помещающаяся в области у О, будет областью асимптотической устойчивости, а наибольшая область асимптотической устойчивости находится как окружность, расположенная касательно к кривой =0. Точки касания имеют координаты Xi = 1,86 и = +0,95 для окружности радиусом 2,09. Важно отметить, что любая область за пределами этой окружности не может быть определенно частью области асимптотической устойчивости, хотя траектории в подобной области могут двигаться в направлении уменьшающейся V. Пока еще нет уверенности в том, что ни одна из траекторий не попадет в запрещенную область о 0. Читатель должен убедиться, что траектория, начинающаяся в точке А на рис. V-2. например, могла бы двигаться к меньшим у-окружностям и даже войти в область у 0. Если бы это произошло, то траектория начала бы двигаться от начала координат, удаляясь от него как угодно далеко. [c.93] Если V положительно-определенна и v отрицательно-определенна для всех х, то система устойчива в целом и не нужно ограничивать размер допустимых областей, очерченных контурами v — onst. Здесь нет противоречия, так как результат анализа Ляпунова зависит от выбранной о-функцин. Другими словами, этот способ дает достаточные, но не необходимые условия устойчивости. В рассматриваемой задаче любая траектория, начинающаяся внутри окружности, касающейся кривой 0=0. должна быть асимптотически устойчива при стационарном состоянии в начале координат. Однако, как показывает вторая о-функция, траектории необязательно только устойчивы. [c.93] Как и в предыдущем примере, полезно использовать и = О, чтобы разделить фазовую плоскость на области положительной и отрицательной . Необходимо сделать конкретный выбор выражения для скорости реакции г (х , Х2) и других параметров. Используем кинетическое уравнение (1.66). Числовые значения, предложенные Бергером и Перлмуттером (см. пример П-З), соответствуют системе с единственным стационарным состоянием при g = 0,165 фунт-моль/фут , Tg = 550° R. Приравнивая к нулю правую часть (V.6), получим квадратное уравнение, определяющее кривую о = О, которая показана на рис. V-3. Таким образом, область асимптотической устойчивости существует внутри любой окружности, которая не попадает в затемненную область о 0. Наибольшая из таких окружностей приведена на рис. V-3. Из этого рисунка следует, что с точки зрения устойчивости вполне допустимо мгновенное увеличение температуры приблизительно на 20° F. Является ли такое отклонение приемлемым и следует ли анализировать влияние других факторов, которые здесь не рассматривались, должен решать инженер. [c.94] При сравнении становится ясно, что новое определение позволяет приблизительно утроить диапазон возмущений, для которого удается доказать асимптотическую устойчивость. [c.94] Вероятно, читатель ожидает, что другой выбор матрицы Р не окажется столь удачным, как предыдущий. Например, для любой матрицы Р, имеющей недиаго-цальные элементы, равные +1, кривая а = О пройдет через начало координат. В таком случае невозможно найти какой-либо о-эллипс, ие попадающий в область, для которой и 0. Однако, как отмечалось выше, неудачный выбор у-функции не должен привести к заключению, что система неустойчива. Фактически, рассматриваемая модель реактора имеет только одно стационарное состояние, к которому асимптотически приближаются траектории, проведенные из любого начального состояния на плоскости (х , х . Дальнейшее изучение этих вопросов можно найти в работе Вардена, Ариса и Амундсона (1964 г.). [c.95] Прежде чем закончить разговор о кривых у = О, мы хотим предостеречь читателя в следующем отношении. Так как начало координат обычно является изолированным решением уравнения у = О, то при поверхностном алгебраическом исследовании может показаться, что кривая у = О проходит через начало координат даже тогда, когда на самом деле этого нет. Применяя такое неверное рассуждение, можно преждевременно отвергнуть вполне удовлетворительные у-функции, приведенные в последнем примере. [c.95] Вернуться к основной статье