ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Наибольшая область асимптотической устойчивости из "Устойчивость химических реакторов" Некоторые результаты Бергера показаны на рис. У-8, где даны очертания наибольшей области асимптотической устойчивости, найденной при любом выборе Р. [c.100] К этой проблеме иначе подошли Парадис (1966 г.), ЛюКе и Макгуир (1965 и 1967 гг.), которые вместо применения условий Сильвестра предпочли вывести уравнение кривой 0 = О непосредственно из решения алгебраических уравнений, полученных путем приравнивания определения (У.14) к нулю. Образцы этих результатов показаны на рис. У-9 и У-Ю. [c.100] Ряд причин приводит инженера к необходимости поиска наибольшей области асимптотической устойчивости для данного выбора V. Во-первых, при этом получается предельный результат, и, если наибольшая область асимптотической устойчивости слишком мала, то дальнейшая работа с выбранной функцией Ляпунова будет нецелесообразна. Во-вторых, поскольку семейство у-контуров расположено вокруг общего центра, нетрудно найти, если это необходимо, меньшую область асимптотической устойчивости, концентричную наибольшей области. В-третьих, наибольшая область асимптотической устойчивости определяет ту часть диапазона начальных условий, в которой система асимптотически устойчива если этот диапазон уже известен (например, после численного интегрирования уравнений системы), то относительный размер наибольшей области асимптотической устойчивости может рассматриваться как мера степени надежности, связанная с выбранной функцией Ляпунова. [c.100] Для отыскания наибольшей области асимптотической устойчивости необходимо использовать теорию оптимизации. Это становится ясным при формализации процедуры поиска у-контура, который касается кривой V = 0. Такой у-контур может быть установлен двумя способами 1) нахождением минимума при условии, что у = О, и 2) нахождением иаксиыуца при условии, что V = К и К увеличивается до тех пор, пока не будет достигнут максимум г = 0. Оба указанных способа мбжно выразить в формулах классического исследования экстремума с помощью множителей Лагранжа. [c.100] Пример У-4. Рассмотреть пример V- , используя теорию оптимизации. [c.100] Теперь уравнения (V.246) и (V,27) решаются совместно, чтобы установить координаты (Xi и j J точки касания (см. рис. V-2). [c.101] Здесь К должно быть выбрано так, чтобы дать значения и из уравнения fV,286), которые после подстановки в (V,28a) приводят к o = 0. Читатель может проверить, что в данном случае К = 4,36. [c.101] Метод Лагранжа дает необходимые условия экстремума в явной форме. Однако подробности решения далеко нетривиальны, и вычисления оказываются громоздкими даже для простейших случаев, рассмотренных выше. Более сложные системы приведут к совместно )ешаемым нелинейным уравнениям еще более высокого порядка. Тоэтому следует ожидать, что некоторые преимущества мог иметь альтернативный метод исследования. Один из вариантов такого метода был предложен Бергером и Лапидусом (1968 г.). [c.101] Вернуться к основной статье