Наибольшая область асимптотической устойчивости

Поскольку функция Ляпунова дает ряд концентрических и-кон-туров, очень просто в зависимости от целесообразности выбрать как наименьшую, так и наибольшую области асимптотической устойчивости. Хотя с первого взгляда и кажется, что лучшими будут наименьшая или наибольшая области асимптотической устойчивости, в действительности это не обязательно так. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим два крайних случая. Если область асимптотической [c.91]

Любая и-окружность, полностью помещающаяся в области у < О, будет областью асимптотической устойчивости, а наибольшая область асимптотической устойчивости находится как окружность, расположенная касательно к кривой у = 0. Точки касания имеют координаты х, = 1,86 и Ха = +0,95 для окружности радиусом 2,09. Важно отметить, что любая область за пределами этой окружности не может быть определенно частью области асимптотической устойчивости, хотя траектории в подобной области могут двигаться в направлении уменьшающейся у. Пока еще нет уверенности в том, что ни одна из траекторий не попадет в запрещенную область у>0. Читатель должен убедиться, что траектория, начинающаяся в точке А на рис. У-2, например, могла бы двигаться к меньшим у-окружностям и даже войти в область у> 0. Если бы это произошло, то траектория начала бы двигаться от начала координат, удаляясь от него как угодно далеко. [c.93]

Однако нельзя сказать, что под действием таких возмущений система обязательно будет неустойчивой. Просто, раз нет способа убедиться в этом, область вне окружности, касающейся кривой у = О, имеет характер неопределенной устойчивости. Может ли иной выбор у-функции дать наибольшую область асимптотической устойчивости Ответ положителен, например, когда [c.93]

Как и прежде, наибольшая область асимптотической устойчивости будет ограничена окружностью, касающейся кривой V — 0. Результат такого вычисления по Бергеру (1964 г.) дан на рис. У-7, где, как и ожидалось, замкнутые контуры, соответствующие окружностям в / 2), не являются окружностями в (х , х ). [c.99]

Некоторые результаты Бергера показаны на рис. У-8, где даны очертания наибольшей области асимптотической устойчивости, найденной при любом выборе Р. [c.100]

Ряд причин приводит инженера к необходимости поиска наибольшей области асимптотической устойчивости для данного выбора V. Во-первых, при этом получается предельный результат, и, если наибольшая область асимптотической устойчивости слишком мала, то дальнейшая работа с выбранной функцией Ляпунова будет нецелесообразна. Во-вторых, поскольку семейство у-контуров расположено вокруг общего центра, нетрудно найти, если это необходимо, меньшую область асимптотической устойчивости, концентричную наибольшей области. В-третьих, наибольшая область асимптотической устойчивости определяет ту часть диапазона начальных условий, в которой система асимптотически устойчива если этот диапазон уже известен (например, после численного интегрирования уравнений системы), то относительный размер наибольшей области асимптотической устойчивости может рассматриваться как мера степени надежности, связанная с выбранной функцией Ляпунова. [c.100]

Для отыскания наибольшей области асимптотической устойчивости необходимо использовать теорию оптимизации. Это становится ясным при формализации процедуры поиска и-контура, который касается кривой и = 0. Такой и-контур может быть установлен двумя способами 1) нахождением минимума при условии, что и = О, и 2) нахождением максимума при условии, что V = К и К увеличивается до тех пор, пока не будет достигнут максимум V = 0. Оба указанных способа можно выразить в формулах классического исследования экстремума с помощью множителей Лагранжа. [c.100]

Для нахождения наибольшей области v < К, внутри которой v < О, необходимо проделать определенные вычисления. Такие вычисления были проведены Макговином (1971 г.), который использовал методику Бергера и Лапидуса, описанную в гл. V. При /1=2 наибольшая область асимптотической устойчивости для низкотемпературного стационарного состояния может быть найдена внутри круга [c.208]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология