ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Принцип суперпозиции Больцмана. Уравнения Больцмана — Вольтерры из "Реология полимеров" Здесь ф (t) — функция релаксации, или релаксационная функция. В ряде работ отношение ст t)/y о называют релаксационным (или релаксирующим) модулем. Общим требованием к функции ф (t) является условие ее убывания или точнее, невозрастания. Коэффициент Goo выбирается так, чтобы удовлетворялось условие ф (оо) = 0. Это означает, что Gm характеризует напряжения, сохраняющиеся в материале после завершения релаксации. Поэтому Goo называют равновесным (или остаточным) модулем упругости. Сумму ф (0) - - Goo обозначим через G и назовем мгновенным модулем упругости, ибо эта величина характеризует величину нанряжения, развивающегося при мгновенном (t = 0) задании деформации у о- Это напряжение, возникшее в теле при создании деформации у д, состоит из убывающей (релаксирующей) компоненты и слагаемого, сохраняющегося в теле неограниченно долго после Лвершения переходного процесса релаксации. [c.71] У жидкостей Goo = О, так как в них не сохраняются приложенные напряжения в случае Goo Ф О тело может рассматриваться как твердое остаточные напряжения в нем сохраняются сколь угодно долго. Очевидно, что Goo Go, а значения функции релаксации лежат между (Goo—Go) и нулем. Тела, у которых )елаксация напряжений наблюдается в экспериментально измеримые отрезки времени, являются вязкоупругими средами. [c.71] Важнейшим понятием в теории вязкоупругих сред является представление о линейности. Назовем линейными вязкоупругими средами те, у которых функция ф t) и коэффициент Goo пе зависят от величины заданной деформации y о- В дальнейшем аналогичные определения линейности будут даны для функций, характеризуюш их другие переходные режимы. [c.72] Последняя характеризует развитие во времени обратимых (упругих) деформаций. Для вязкоупругих тел, не способных к течению, у которых вся деформация носит обратимый характер, 1/т] = 0. [c.72] Эта величина отвечает наибольшей обратимой деформации y (° )t которая развивается в теле при заданном напряжении. [c.72] Единственным общим требованием к функции -т] t) является условие ее неубывания в общем случае /оо /о и ijj (() возрастает от О до (/оо—/о) или остается равной нулю. [c.72] Здесь Yo — амплитудное значение деформации i — мнимая единица ш — круговая частота, равная 2л/ (где / — число периодов в единицу времени). [c.72] Запись Y (О в виде Y 0 означает, что изменение деформации может рассматриваться как происходящее по закону косинуса или синуса в зависимости от того, исследуется ли действительная или мнимая компонента деформации. Для сути дела это безразлично, а использование величин деформации и напряжения в комплексной форме облегчает математические выкладки. [c.72] Реакция среды на периодическое изменение деформации состоит в возникновении переменных напряжений а ( ) причем в общем случае напряжение складывается из двух компонент следующей по фазе за изменением деформации и задержанной (запаздывающей)-по фазе по отношению к деформации. [c.73] Напомним, что для жидкостей, т. е. сред, способных к течению под действием сколь угодно малого напряжения и не способных к сохранению остаточных напряжений, Ооо= О и первый член в записанной сумме для сг ( ) пропадает. [c.73] Величину т] обычно называют просто динамической вязкостью. [c.75] Таким образом, из всех введенных выше характеристик вязко-упругих свойств среды, измеряемых при гармонических колебаниях, независимыми являются любые две, например С и С , или Г и или и т остальные выражаются через две величины, принятые за исходные, с помощью простых алгебраических соотношений. [c.75] Все рассмотренные характеристики линейного вязкоупругого тела зависят от частоты, причем эти зависимости в общем случае могут иметь весьма сложную форму. [c.76] Важно отметить, что при изменении частоты изменяется не только длина вектора у, но и отношение длин векторов Оц и а также величина угла б. Поэтому полными характеристиками вязкоупругих свойств среды, определяемыми при гармонических колебаниях, являются частотные зависимости компонент комплексного модуля упругости или частотная зависимость угла б. [c.77] Полученные формулы (1.76) и (1.78) позволяют установить физический смысл параметров материала G, I и б. Величины G и I являются коэффициентами пропорциональности, определяющими интенсивность диссипации работы внешней силы при заданных параметрах процесса колебаний, когда амплитуды равны и Yo при частоте со. Очевидно, чтоZ) возрастает с ростом угла б. Поэтому величины G , / и б определяют потери работы При гармонических колебаниях, что оправдывает их часто используемые названия G — модуль потерь, I — податливость потерь, б — угол механических потерь. [c.78] Величина G характеризует упругие свойства материала, поскольку при заданном режиме деформирования накапливается упругая энергия, пропорциональная G или Г. Поэтому коэффициенты G и Г целесообразно называть модулем и податливостью накопления, подразумевая под этим, что величины G и Г определяют значения энергии, накапливаемой в единице объема среды в течение четверти цикла деформирования и расходуемой в следующей четверти цикла. [c.78] Принцип суперпозиции Больцмана сводится к предположению о том, что все воздействия на среду независимы и аддитивны, причем ее реакция на эти воздействия линейна. Принцип Больцмана представляет основу определения понятия о линейной вязкоупругой среде. [c.79] Записанные соотношения представляют собой математическую формулировку принципа Больцмана и называются интегральными уравнениями Больцмана — Вольтерры, поскольку теорию таких уравнений разрабатывал В. Вольтерра. Первое из них определяет напряжения в момент времени I как функцию всех предшествующих изменений деформации, второе — деформацию в зависимости от предыстории изменений напряжения. Можно, конечно, рассматривать их и наоборот, полагая, что при заданной функции а () первое свотношение представляет собой уравнение для определения неизвестной функции V ( ) а второе — уравнение для определения ст () при известной функции у 1). Такое рассмотрение позволяет связать между собой функции ф (() и ор ( ), как это будет показано несколько ниже. [c.80] В записанные выше интегральные уравнения входят функции релаксации и ползучести. Эти уравнения могут рассматриваться как обобщения простейших экспериментов на релаксацию и ползучесть, которые выше разбирались для простейших режимов нагружения — постоянной деформации или постоянного напряжения, а здесь обобщены для произвольного случая изменения деформации или напряжения во времени. [c.80] Полученное интегральное соотношение (1.81), известное под названием уравнения Вольтерры, позволяет по крайней мере в принципе находить одну из функций ф (t) или -ф (t) по известной другой. Тем самым в явной форме утверждается, что эти функции не являются независимыми характеристиками материала, а однозначно связаны друг с другом, так что задание (или экспериментальное определение) одной из них предполагает, что втора функция может быть вычислена из известной с помощью уравнения (1.81). Этот результат подтверждает соответствие между поведением материала при релаксации и при ползучести. [c.81] Вернуться к основной статье