ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Уравнение распространения субстанции из "Лекции по курсу процессы и аппараты химической технологии" Тейлора для представления значений непрерывных функций в точках с приращением независимого аргумента через значения тех же функций в исходной точке без приращения аргумента. При использовании этого способа подробнее анализируется физическое содержание всех этапов вывода. Второй способ более компактный - это использование известной из курсов математики и физики теоремы Гаусса - Остроградского, устанавливающей связь между определенными интегралами по замкнутой поверхности и по объему, ограниченному этой поверхностью. [c.18] Выводы конкретных дифференциальных уравнений для так называемых сплошных сред представлены в последующих главах здесь же рассматривается общий алгоритм вывода, иллюстрирующий общие аспекты методики, физического содержания и математического формализма. Отметим, что выводы дифференциальных уравнений распространения субстанции обычно наиболее трудно воспринимаются учащимися. [c.18] Сплошной средой называют такую среду, при анализе процессов переноса в которой можно пренебречь молекулярной структурой вещества, для чего элементарные объемы рассматриваемой среды должны иметь размеры, значительно (как минимум, в десятки раз) превышающие длины свободного пробега молекул между их последовательными столкновениями. Только если число молекул в анализируемом объеме не менее нескольких тысяч, можно считать, что такие величины, как давление, плотность, температура и т. п., в таком объеме могут считаться статистически достоверными и соответствующими их средним для данной точки значениям. [c.18] Следовательно, элементарные объемы dv = йхйуд-г рассматриваются лишь как физические дифференциалы, которые, строго говоря, нельзя устремлять к нулевому значению. Впрочем, поскольку длины свободного пробега в газовых средах при атмосферном давлении не превышают десятых долей микрометра, то и элементарные объемы должны иметь размеры такого же порядка. Так как технологические процессы проводятся в аппаратах со значительно большими размерами всех элементов, то объемы с размерами, в несколько раз превышающими длины свободного пробега молекул, практически могут рассматриваться в качестве бесконечно малых. Исключение составляют процессы в разреженных газах, в которых длина свободного пробега молекул может даже превышать минимальные размеры внутри промышленной аппаратуры (см. разд. 6.4). [c.18] В соответствии с физическим смыслом уравнения нестационарного баланса (1) скорость изменения субстанции в элементарном объеме с1и равна разности между входящими и выходящими через грани этого объема количествами субстанции с добавлением возможных ее источников и стоков внутри самого объема (1и. Через каждую грань параллелепипеда в общем случае входят или выходят по два потока, вызываемые конвективным и диффузионным переносами субстанции. Объем у выделяется внутри движущейся среды мысленно, поэтому через каждую его грань свободно входит и выходит движущаяся среда и, кроме того, независимо от конвективных потоков субстанции через грани параллелепипеда происходит диффузионный ее перенос под воздействием градиентов соответствующего потенциала. [c.19] Следует обратить внимание на индексы у произведений объемного содержания субстанции, у компонент скорости в шести конвективных слагаемых и при градиентах потенциала в шести слагаемых диффузионного переноса. Половина из этих двенадцати слагаемых представляют собой потоки, входящие через три грани с общей точкой А х, у, г). Вторая половина слагаемых (выходящие потоки) имеет подстрочные индексы, соответствующие координатам граней в точках с элементарными приращениями аргументов с1х, йу и йг соответственно по каждой из декартовых координат. [c.20] Значения всех производных в уравнении (9) теперь сведены к одной единственной произвольной точке А(л , у, г), поэтому индексы при производных, когда других индексов не осталось, можно опустить. [c.21] Проанализируем теперь более компактный, интегральный способ вывода уравнения (11), для чего в рассматриваемой движущейся среде также мысленно выделяется произвольный, но конечный объем V, ограниченный замкнутой поверхностью (рис. 3). Через часть поверхности Р движущаяся среда вносит внутрь объема V интересующую нас субстанцию, а через другую часть поверхности - выносит. Кроме того, в каждой точке внутри объема в общем случае могут действовать источники и стоки субстанции. [c.22] Согласно этому уравнению, скорость изменения количества субстанции в объеме V равна алгебраической сумме входящих и выходящих через поверхность Р потоков субстанции и суммарным ее количествам, выделяемым и поглощаемым в каждой точке объема за счет мощностей источника и стока. Интеграл по замкнутой поверхности автоматически учитывает разные знаки проекций потоков субстанции на нормаль п к элементарной площадке д,Р всех входящих и выходящих потоков. Отрицательный знак перед интегралом по поверхности связан с тем, что в математике принято считать положительными потоки, направленные по нормали из объема наружу (рис. 3), тогда как по физическому смыслу закона сохранения положительное значение накопления субстанции (Э//Эт 0) соответствует потоку этой субстанции внутрь рассматриваемого объема. [c.22] Уравнение (15), в отличие от аналогичного соотношения (11), справедливо в любой системе координат. Кроме того, коэффициент диффузионного переноса субстанции D здесь может быть величиной переменной, зависящей как от пространственных координат, что может иметь место в неоднородных средах, так и от значения потенциала П, что часто характерно для практических условий, когда диапазоны изменения потенциалов значительны. [c.23] Вернуться к основной статье