ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Квазиньютоновские методы минимизации квадратичных функций из "Алгоритмы оптимизации химико-технологических процессов" при р 4 О на и-ом шаге матрица с точностью до множителя р равна обратной матрице к матрице А. В дальнейшем, если не оговорено особо, будем считать р фО. [c.63] Определение векторов . Для сопряжения направлений р , получаемых с помощью формул (1,41), (11,118), векторы на каждой итерации необходимо подбирать таким образом, чтобы выполнялись равенства (11,31). [c.63] Для доказательства равенства (11,125) воспользуемся методом математической индукции. Поскольку = (з ) ( оРо), принимая во внимание соотношение (11,12), получим, что для/ = 1 равенство (11,125) выполняется. [c.63] Отсюда на основании (11,126) получим выражение (11,129). Итак, поскольку выполняются соотношения (11,128), (11,129), верно и равенство (11,127). Таким образом, наше утверждение доказано. [c.64] Рассмотрим теперь несколько алгоритмов построения вектора г ,, которые не будут предполагать поиск оптимальной точки на каждом направлении. Можно потребовать, чтобы вектор У , удовлетворяя соотношениям (11,124), в то же время удовлетворял бы некоторым экстремальным свойствам. Так, вектор у,- может определяться как решение одной из следующих трех экстремальных задач. [c.64] Полученные формулы для определения вектора У дают возможность строить поисковые алгоритмы, использующие различные формулы на разных этапах поиска. Например, для увеличения устойчивости метода может оказаться целесообразным вдали от мпнил1ума применять формулу (11,138), а вблизи минимума — формулу (11,140). [c.66] Следовательно, неизвестных коэффициентов матрицы Я, удовлетворяют т линейным алгебраическим уравнениям. Таким образом, при г Ф п число неизвестных превышает число уравнений, которым они удовлетворяют, и можно воспользоваться имеющимися степенями свободы для построения различных формул для Я,. При этом можно пойти разными путями. Можно потребовать, чтобы Я,- удовлетворяла некоторым экстремальнылг свойствам. Примером такого подхода является работа [42]. Можно также потребовать, например, чтобы Я,- давала такое направление, чтобы вектор р1 составлял наименьший угол с антиградиентом. Подобный выбор Я, будет способствовать устойчивости метода. [c.66] Другой путь состоит в построении частных формул для Я,-(см., например, [43]). И, наконец, можно попытаться найти общую формулу для Я,, зависящую от ряда констант, из которой можно было бы вывести различные частные формулы. Такой подход содержится в работах [41, 44]. Дальнейшее изложение в этом разделе будет опираться на работу [41]. [c.66] Для построения решения системы (11,118) мы воспользуемся общей формулой решения матричных уравнений [см. (А.30)]. В данном случае С = 1 , X = Я,, /) = У,-, Е = р5,-. Ясно, что для единичной матрицы II = 1 = 1 . [c.66] Пусть также У1 удовлетворяют соотношению (11,141). Определим матрицы [Ва и векторы е,-,- (/ = 1, 2) таким образом, чтобы удовлетворяли (11,141). [c.67] Подставляя это выражение для С в уравнение (11,152), легко убедиться, что указанное уравнение выполняется тождественно. [c.68] Таким образом, мы получили формулы для расчета Я,, не требующие нахождения матриц Yj. [c.70] Построение конкретных формул для определения матриц Я,. Соотношения (11,159), (11,160) являются достаточно общими формулами построения матриц Я,-, зависящими от произвольной матрицы R и произвольных векторов с,-,, (/ = 1, 2). Давая произвольным величинам определенные значения, можно получить частные формулы для расчета Я,. Совокупность этих формул обычно называют семейством формул Адачи [41]. [c.70] Последние два члена в правой части данного уравнения равны нулю. Действительно, транспонируя соотношение (11,31), получим, что s]Yi = 0 отсюда последний член в (11,168) равен нулю. [c.70] Будем в дальнейшем предполагать, что константы 1 , бц-выбираются произвольно, а константы 72м 21 — с учетом выполнения равенства (11,172). [c.71] Рассмотрим теперь предпоследнюю скобку в правой части равенства (11,171). Коэффициенты 72г. 21 в формуле (11,167) связаны соотношением (11,172), величины же 1 произвольны, поэтому мы можем выбрать их таким образом, чтобы указанная скобка обратилась в нуль, т. е. [c.71] Эта формула была выведена в работе [44] непосредственно из выражения (11,118). [c.71] Совокупность конкретных формул для вычисления Я,-, которые получаются из (11,174), если давать определенные значения произвольным постоянным 1,, Pif, 7i,-, р будем для кратности называть семейством формул (алгоритмов) Хуанга. [c.72] Приведем некоторые известные алгоритмы, которые получаются из формулы (11,174) при различных значениях параметров Pii Viii p. Ясно, что эти формулы являются частными случаями и более общей формулы (11,159). [c.72] Формула 1 приведена в работе [43], формулы 3 и 4 — в работе [44]. [c.72] Вернуться к основной статье