ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Метод множителей Лагранжа (метод цен) из "Моделирование сложных химико-технологических схем" На базе описанной общей схемы ниже обсуждены два декомпозиционных метода, один из которых основан на применении метода множителей Лагранжа (методом цен [40]), а другой — на принципе закрепления входных и выходных переменных блоков схемы [41]. Кроме того, кратко рассмотрены метод подоптимизации [8, с. 199], а также общий подход к построению одного класса декомпозиционных методов. [c.174] Различные аспекты применения множителей Лагранжа в экстремальных задачах можно найти в работах [3, с. 298 4 14 40]. Предположим вначале, что все входные и выходные переменные схемы являются свободными. В качестве варьируемых переменных в данном методе примем входные переменные и управляющие переменные Иг каждого блока схемы. [c.174] В главе V (см. стр. 96) было указано, что если в функции Лагранжа подставить значения fi = j,, то в точке х, и функция F х, и, х ) будет иметь либо седловую точку, либо локальный максимум. В дальнейшем седловые точки и точки локального максимума функции F х, и, х) при произвольных, но фиксированных значениях р, будем называть оптимальными точками, а процедуру поиска таких точек оптимизацией функции/ и обозначать ее через optim F х, и, [х). [c.175] Совершенно ясно, что после такого построения ( ( , во-первых, будет зависеть только от переменных к-то блока и, во-вторых, остающиеся члены в выражении для F уже не будут определяться переменными упомянутого блока. [c.176] После того как величины будут построены описанным способом для всех А = 1,. . N, все члены в выражении для F войдут в величины и выражение для F примет вид (VHI,6). При этом в соответствии со способом построения данная сумма будет обладать сформулированным выше свойством от переменных к-то блока будет зависеть только величина Тогда при варьировании управлений и входных переменных к-то блока в функции F изменится только величина а остальные i Ф к) останутся без изменения. Отсюда оптимизацию функции F можно свести к оптимизации отдельных функций ( . [c.177] Посмотрим теперь, что представляет собой операция оптимизации отдельной функции Согласно сказанному выше (см. стр. 175), оптимизация функции F сводится к определению либо седловой точки, либо локального максимума. Очевидно, что точка локального максимума функции F является точкой локального максимума и отдельной функции ). С другой стороны, седловая точка функции F может служить не только седловой точкой функции но и точкой локального максимума, а также точкой локального минимума функции Это ясно в общем случае, поскольку седловая точка функции F может образоваться, например, так, что в одних блоках соответствующие функции будут иметь локальные минимумы, а в других блоках — локальные максимумы. [c.177] Отсюда и следует равенство (111,11). [c.178] Наконец, остается только ответить на вопрос, как изменять величины от итерации к итерации, чтобы в конце итерационного процесса выполнялись соотношения (VHI,2). [c.178] С точки зрения общей схемы декомпозиционных методов (см. рис. 71) в данном случае роль величин si играют множители Лагранжа [Х , а роль величин ai — величины л ,- и Местный алгоритм оптимизирует г-ый блок, используя в качестве критерия величину а центральный алгоритм R согласует входные и выходные переменные всех блоков. [c.179] множители Лагранжа могут трактоваться как цены, которые мы назначаем для всех промежуточных переменных схемы (отсюда второе название метода — метод цен). Правда, в этой аналогии имеется один существенный недостаток. Если критерий является настоящим доходом, требуется искать его максимум. В нашем же случае максимуму целевой функции могут, вообще говоря, соответствовать не только седловые точки, но и точки минимума функций Аналогия будет полной, если функция имеет в допустимой области только один максимум. [c.180] Остановимся теперь на некоторых особенностях данного метода. При его применении оптимизировать каждый блок придется столько раз, сколько будет итераций но величинам Но итерации по [xi строятся из условия решения системы (VIII,13), порядок которой равен М. Чем больше М, тем, вообще говоря, сложнее решение системы нелинейных уравнений. [c.180] В связи с этим возникает важный вопрос как разбивать схему на блоки. Самый простой путь — считать каждый аппарат блоком. Однако в сложной схеме с большим числом блоков число М будет велико и нри решении системы (VIII,13) могут встретиться серьезные трудности. Поэтому может оказаться целесообразным объединять аппараты в блоки. Чем больше аппаратов объединятся в один блок, тем меньше будет М, но оптимизация одного блока усложнится. [c.180] Таким образом, при объединении аппаратов в блоки надо стремиться к разумному компромиссу между числом М и числом аппаратов в блоках. Эта задача мало формализована, и человеку приходится решать ее на основе интуиции и опыта. [c.180] Для простоты будем называть этот метод методом закрепления л предположим, что все входные и выходные переменные схемы заданы. [c.182] Вернуться к основной статье