Метод множителей Лагранжа (метод цен)

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА [c.139]

Рис. 21. Геометрическая иллюстрация в методу множителей Лагранжа.

Недостатком метода множителей Лагранжа является введение дополнительных переменных, которые должны быть исключены с помощью дополнительных уравнений. Если учесть, что при решении задачи комплексной оптимизации параметров адсорбционных установок число уравнений связи между оптимизируемыми параметрами велико, то станет очевидной важность этого недостатка. Кроме отмеченного для метода множителей [c.124]

Для сложных реальных ситуаций метод множителей Лагранжа позволяет лишь сформулировать аналитически задачу оптимизации, а для нахождения оптимальных значений параметров необходимо применение поисковых методов. [c.178]

Аналитический метод оптимизации предусматривает аналитическое задание соответствующих функций и определение производных от них. На значения переменных, однако, могут накладываться ограничения, связанные с конструкцией, характером работы, стоимостью и т. п. В случае наличия таких ограничений, касающихся переменных величин, полезным может оказаться хорошо известный в математике метод множителей Лагранжа, [c.362]

Для решения сформулированной экстремальной задачи применим метод множителей Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид [c.34]

Следует подчеркнуть, что для поиска условного экстремума функции многих переменных метод штрафов более экономичен, чем метод множителей Лагранжа, так как, во-первых, не приходится увеличивать число подбираемых величин и, во-вторых, он применим к более широкому классу функций. [c.194]

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА (МЕТОД ЦЕН) [c.174]

Метод штрафов является более универсальным, чем метод множителей Лагранжа, использование которого возможно лишь при стесняющем условии — выпуклости множества Л. В то же время применение метода штрафов имеет свои недостатки. Коэффициенты в общем случае должны неограниченно возрастать, что приводит к овражному характеру функции (х) и, следовательно, существенно усложняет выполнение ее минимизации. Кроме того, если множество Л не является ограниченным, точнее, если / (х), X Q не ограничена снизу, то выбор начальных величин [c.151]

Минимизируемая функция с учетом ограничений будет следующей (использован метод множителей Лагранжа) [c.116]

Определение экстремальных точек функции многих переменных для весьма важного случая наличия дополнительных связей между оптимизируемыми параметрами может быть осуществлено с использованием классического математического метода множителей Лагранжа. Пусть имеем функцию цели хг, Хп), экстремум которой требуется найти, причем имеют место дополнительные условия [c.124]

Решение этой задачи можно провести непосредственно по (2.49), но при этом следует иметь в виду, что вариация величины, оптимум которой ищется, приводит к изменению значений Яei потоков, т. е. необходимо совместное решение (2.49) и (2.25). Значительно проще можно решить задачу оптимизации методом множителей Лагранжа [33], если исследовать на экстремум функцию [c.43]

Решение осуществляется посредством метода множителей Лагранжа. Умножим каждое уравнение (У,16) системы на коэффициент 2Ьц и прибавим полученные выражения к уравнению (У,17) [c.233]

Такую двухуровневую процедуру называют методом множителей Лагранжа (ММЛ), или методом ц е н . [c.230]

Метод множителей Лагранжа. Рассмотрим здесь задачу минимизации (IV, ) при ограничениях типа (IV,3). Пусть множество А является ограниченным, замкнутым и выпуклым. Введем функцию Лагранжа [c.146]

Здесь рассмотрено обобщение метода множителей Лагранжа на случай невыпуклого множества Л, представляющее собой своеобразный синтез этого метода с методом штрафов при конечном значении штрафного коэффициента [66]. [c.152]

Для построения декомпозиционных методов оптимизации мы используем методы множителей Лагранжа и штрафов . [c.228]

Применяя метод множителей Лагранжа, сведем задачу к определению экстремума функции [c.77]

Такая интерпретация задачи поможет в дальнейшем строить, функции Р. Ниже изложены три метода конструирования функции Р метод штрафов , метод множителей Лагранжа и так называемый метод уровней.] [c.91]

Метод множителей Лагранжа. Идея использования множителей Лагранжа для исключения некоторых неудобных ограничений была описана в главе V (см. стр. 96). Применим ее для сведения задачи с закрепленным правым концом к задаче со свободным правым концом. Воспользуемся условиями трансверсальности [19, с. 59], которые формально можно получить следующим образом. Сформируем функцию Лагранжа [c.112]

Пример. Проиллюстрируем метод множителей Лагранжа на примере простой схемы, изображенной на рис. 72. Положим, все входные переменные 1-го блока варьируемыми, а все выходные переменные 4-го блока свободными. Критерий оптимизации для этой схемы имеет вид [c.181]

На базе описанной общей схемы ниже обсуждены два декомпозиционных метода, один из которых основан на применении метода множителей Лагранжа (методом цен [40]), а другой — на принципе закрепления входных и выходных переменных блоков схемы [41]. Кроме того, кратко рассмотрены метод подоптимизации [8, с. 199], а также общий подход к построению одного класса декомпозиционных методов. [c.174]

При применении метода множителей Лагранжа на 2-ом уровне приходится решать систему М нелинейных уравнений (VIII,13) относительно переменных В случае же метода закрепления ищется максимум функции F от М переменных xf [см. формулу (VIII,32)]. Указанные две процедуры при прочих равных условиях примерно равноценны. Однако преимущество метода закрепления здесь очевидно итерации проводятся по переменным имеющим физический смысл. Это позволяет, вообще говоря, точнее задавать для них начальное приближение. В методе множителей Лагранжа итерации осуществляются по величинам которые пе имеют физического смысла, поэтому задавать для них начальное приближение затруднительно. [c.190]

Как правило, нельзя рекомендовать какой-либо один метод, который можно использовать для решения всех без исключения задач, возникающих на практике. Одни методы в этом отношении являются более общими, другие — менее общими. Наконец, целую группу методов (методы исследования функций классического анализа, метод множителей Лагранжа, нелинейное программирование) иа определенных этапах реикния оптимальной задачи можно применять в сочетании с другими методами, например динамическим программированием и принципом максимума. [c.29]

Метод множителей Лагранжа (см. главу IV) применяют для 1)ешения-задач такого же класса сложности, как н в обычных методах исследования функций, но при наличии ог[)аничений гина равенств на независимые переменные. К требованию возможпосги получения аналитических выражений для п[)оизводных от критерия оптимальности при этом добавляется аналогичное требование относительно аналитического вида ограничительных уравнений. [c.30]

В основном, при использовании метода множителей Лагранжа приходится решать те же задачи, что и без ограничений. Некоторое усложнение в данном случае возникает лишь от введения дополнительных неопределенных множителей, вследствие чего порядок системР) уравнений, решаемой для нахождения экстремумов критерия оптимальности, соответственно повышается на число ограни-1 ений. В остальном процедура поиска решений и проверки их на [c.30]

Для решения экстремальных задач с такими ограничениями в классическом анализе разработан и используется метод неопределенных множителей Лагранжа , сводящий задачу с ограничениями к обычной э1 стремальиой задаче без ограничений, что позволяет применить для ее решения приемы, рассмотренные в главе HI. В этом смысле настояш,ая глава является логическим продолжением предыдущей. Метод же множителей Лагранжа дает возможность иногда нсноль-зовать более эффективные приемы, ведущие к решению исходной оптимальной задачи. [c.139]

С учетом процедуры применения метода множителей Лагранжа составим вспомогательную функцию (IV,12) для этой [ адачи [c.143]

Однако в данном случае все же возможно заменой переменных найти достаточно удобные аналитические вырал<енпя, псзволяющие при использовании метода множителей Лагранжа нолучи1ъ конечные результат ,I значительно быстрее. [c.161]

Математическое описание процессов в реакторах идеального перемешивания представляет собой систему алгебраических уравнений. При поиске экстремума необходимо учитывать ограничение на общую величину нотока, поступающего в реакторы, — п. При решении такой задачи удобен метод множителей Лагранжа. [c.217]

Определим оптимальные мощности перемешивания для получения однородного кристаллического продукта с заданным средним размером в каскаде кристаллизаторов типа MSMPR. Задача нахождения оптимальных мощностей перемешивания для получения однородного кристаллического продукта с заданным средним размером была решена авторами совместно с Ле Суан Хаем с помощью метода множителей Лагранжа. Критерием оптимизации выбрана дисперсия размеров (объемов) кристаллов относительно среднего размера (объема), которая служит оценкой однородности, [c.351]

В описанном в этом разделе методе множителей Лагранжа множители %. могут быть отождествлены с параметрами. . . , [Xf , составной функции F сопоставлена функция (IV,7), а символу operat — операция max [ср. (IV,13)1. Ниже рассмотрены другие [c.148]

Следует отметить, что (составная) ф5 нкция (IV,21) метода уровней выглядит сложнее если в функции (IV,7), (IV,31), используемые соотве тственно в методах множителей Лагранжа и штрафных функций, критерий / (х) входит в неискаженном виде, то функция (IV,21) метода уровней нелинейна относительно /. [c.152]

Воспользуемся методом множителей Лагранжа, описанным в главе V (ом. стр. 92). Ограничениями типа равенств, наложенными на варьируемые параметры, будем в данном случае считать уравнения (VIII,2). При этом предполагается, что вместо в уравнения [c.174]

Итак, общий алгоритм оптимизации схемы на базе метода множителей Лагранжа выглядит следующим образом. Вначале задаются какими-то значениями В соответствии с формулой (VIII,10) [c.179]

Остановимся теперь на экономической интерпретации метода множителей Лагранжа. Для этого обратимся еще раз к критерию < ( > [см. выражение (VIII,7)], применяемому при оптимизации /с-го блока. Если формально считать (х< ) ценой, по которой покупается единица [c.179]

Пусть А ЫЙ блок включает только один аппарат, модель которого имеет вид формулы (VIII,1). Пусть также в данном блоке величины л и г/,- приняли соответственно значения и г/ (Z — номер итерации в центральном алгоритме). Оптимизация к-го блока при этих значениях входных и выходных переменных, которая проведена с использованием метода множителей Лагранжа, дает искомые производные вида (V,71) и (V,73). Ограничения типа равенств (V,66) в данном случае будут иметь вид уравнения (VHI,29). Роль констант 6,- в соотношениях (VHI,29) играют величины а роль констант а ,. . ., — величины Отсюда соотноше- [c.186]

Существенное отличие задачи разбиения на блоки в данном методе от метода множителей Лагранжа состоит в том, что нри таком разбиении должны выполняться условия (VIII,31). Рассмотрим это условие подробнее. Пусть, например, в некотором аппарате оно не соблюдается. Тогда данный аппарат уже не может считаться блоком и должен быть подсоединен к одному из соседних аппаратов (т. е. к аппаратам, с которыми он связан входными, либо выходными потоками), если, конечно, это возможно. Так, для схемы на рис. 72 при невыполнении условия (VIИ,39) блок 1 необходимо объединить с блоком 2. Если же и в блоке, образованном первыми двумя аппаратами, не будут выполняться условия (VIII,31), в один блок следует объединить первые три аппарата и т. д. Если, наконец, в аппарате вообще нет варьируемых параметров, его, конечно, также можно подсоединить к соседним аппаратам. Можно, однако, поступить и по-другому, рассматривая уравнения указанного аппарата как соотношения, которые накладываются на входные и выходные переменные соседних аппаратов. [c.187]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология