ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Направляющие функции из "Устойчивость химических реакторов" Как мы уже видели, геометрические построения, связанные с анализом по Ляпунову, основаны на отыскании таких контуров, которые служат пределами возможных траекторий. Задача нахождения функции Ляпунова осложняется требованием замкнутости контуров. [c.103] Ласалль и Лефшетц (1961 г.) предложили в некоторых случаях формировать желаемый закрытый контур, соединяя вместе несколько функций, каждая из которых применима в одной части фазовой плоскости. [c.103] Парадис (1966 г.) показал удобство объединения сегментов прямой линии в замкнутые многоугольные контуры. В результате единственная функция Ляпунова заменяется несколькими направляющими функциями, которые совместно дают необходимую информацию об устойчивости. [c.103] И повторить предыдущий вывод. [c.105] Комбинированный рис. У-12 показывает, как две направляющие функции могут дополнять друг друга, разделяя плоскость на четыре области, каждая из которых дает свои границы движения траектории. Значок угол со стрелкой в каждой области указывает спектр возможных направлений движения. Остается только наложить на рис. У-12 закрытый многоугольный контур, как это показано на рис. У-13. [c.105] Последний рисунок построен следующим образом. Начиная от произвольной точки А в области IV, линии проводятся по двум направляющим функциям (как показано значком угол со стрелкой ) и заканчиваются в точках В и О, которые тоже произвольны, но должны находиться на удобном расстоянии и в соответствующих областях / и III. Точка С замыкает параллелограмм АВСО. Она располагается в еще незанятой области II. Если направление движения ограничено каждой областью, то ни одна траектория, возникающая внутри параллелограмма, не должна выходить за его пределы. Таким образом, АВСО будет областью практической устойчивости, если ее очертания находятся в практически допустимой области значений фазовых переменных и х . [c.105] Определенная произвольность размещения точек АВСО удобна для инженера, так как он может в щироких пределах изменять размеры и форму параллелограмма. Далее, инженер может изменять форму области практической устойчивости, как это, например, показано внутренними линиями на рис. У-13. В последнем случае линии ЕР, РО и СН ограничиваются геометрическим местом Ё = О, и все прямые параллельны сторона м параллелограмма. Линия АЕРОША ограничивает область, которую траектории не могут покинуть по тем же причинам, что были изложены выше. [c.105] Области практической устойчивости (гипотетический случай). [c.105] Пример У-6. Использовать направляющую функцию, чтобы установить область практической устойчивости системы, рассмотренной в примере У-2. [c.106] Используя те же числа, что и ранее, находим геометрические места 1 = 0 к Ё2= О, показанные на рис. У-14. Теперь можно очень просто установить области на плоскости, соответствующие положительной и отрицательной Е, оценив значения в любой удобной точке. Значок угол со стрелкой можно оставить на рисунке, как удобный указатель. [c.106] Можно заметить, что геометрическое место 3 = О есть прямая линия. Эта не играет существенной роли, но в данном случае облегчает графическое построение. Результат показан на рис. V-15. Обратим внимание на затемненную область между 3 = О и кривой Вследствие введения третьей направляющей функции траектории в этой области ограничены теперь так, что не пересекут линии с наклоном — 1. В результате можно образовать большую область, очерченную ломанной линией (или другие области сравнимой величины). Прочие преимущества направляющей функции 3 были рассмотрены Сабо и Драповым (1966 г.). [c.107] Вернуться к основной статье