Направляющие функции

Рис. У-11. Направляющая функция на фазовой плоскости.

Направляющая функция Е1 имеет производную по времени (вдоль траектории) [c.104]

Как и при изучении функции Ляпунова, полезно для направляющей функции определить область фазовой плоскости, где производная по времени отрицательна. Такая область ограничена геометрическим методом точек [c.104]

Чтобы возместить этот недостаток необходимо рассмотреть еще одну направляющую функцию, отличающуюся наклоном [c.105]

Комбинированный рис. У-12 показывает, как две направляющие функции могут дополнять друг друга, разделяя плоскость на четыре области, каждая из которых дает свои границы движения траектории. Значок угол со стрелкой в каждой области указывает спектр возможных направлений движения. Остается только наложить на рис. У-12 закрытый многоугольный контур, как это показано на рис. У-13. [c.105]

Последний рисунок построен следующим образом. Начиная от произвольной точки А в области IV, линии проводятся по двум направляющим функциям (как показано значком угол со стрелкой ) и заканчиваются в точках В и О, которые тоже произвольны, но должны находиться на удобном расстоянии и в соответствующих областях / и III. Точка С замыкает параллелограмм АВСО. Она располагается в еще незанятой области II. Если направление движения ограничено каждой областью, то ни одна траектория, возникающая внутри параллелограмма, не должна выходить за его пределы. Таким образом, АВСО будет областью практической устойчивости, если ее очертания находятся в практически допустимой области значений фазовых переменных и х . [c.105]

Рис. У-12. Две наложенные направляющие функции.

Рис. У-14. Анализ направляющих функций для проточного реактора с перемешиванием.

Пример У-6. Использовать направляющую функцию, чтобы установить область практической устойчивости системы, рассмотренной в примере У-2. [c.106]

Решение. Простейшие направляющие функции — это ряды вертикальных и горизонтальных линий [c.106]

Основной прием все же удается использовать, если рассмотреть добавочную направляющую функцию [c.107]

Можно заметить, что геометрическое место 3 = О есть прямая линия. Эта не играет существенной роли, но в данном случае облегчает графическое построение. Результат показан на рис. V-15. Обратим внимание на затемненную область между 3 = О и кривой Вследствие введения третьей направляющей функции траектории в этой области ограничены теперь так, что не пересекут линии с наклоном — 1. В результате можно образовать большую область, очерченную ломанной линией (или другие области сравнимой величины). Прочие преимущества направляющей функции 3 были рассмотрены Сабо и Драповым (1966 г.). [c.107]

Рассмотрим направляющие функции [c.194]

Тем не менее, исследуя две направляющие функции, мы получаем данные о большинстве частей составной фазовой плоскости. Кроме того, можно построить почти замкнутую область практической устойчивости (рис. УИ1-7а). Если инженера интересует только направление увеличения температуры, то эти границы могут служить [c.194]

Введение направляющих функций Е,=Х, + Х2 Е = х, [c.195]

По существу эта формулировка является видоизменением определения Ляпунова. О системе можно сказать, что она практически устойчива на конечном интервале времени, когда можно найти любую пару б, 8, которая удовлетворяет инженерным требованиям, а также условию (VUI, 13). Кроме того, как было замечено в разделе Направляющие функции гл. V, относительно более слабые требования практической устойчивости дают возможность заменить обычные нормы удобными графически построенными областями. Снова используем направляющие функции [можно, конечно, применить любую методику, с помощью которой устанавливаются практические области (б, е) ]. [c.197]

Введение направляющих функций El = Xj + [c.195]

Парадис (1966 г.) показал удобство объединения сегментов прямой линии в замкнутые многоугольные контуры. В результате единственная функция Ляпунова заменяется несколькими направляющими функциями, которые совместно дают необходимую информацию об устойчивости. [c.103]

По легкости геометрического представления и вычислений метод Баправляющей функции очень удобен для поиска областей практической устойчивости. С этой целью Хевит и Стори (1966 и 1967 гг.) разработали программу для ЭВМ. Однако следует подчеркнуть, что применение метода направляющей функции ограничивается системами двух измерений. Как уже было показано, такое ограничение отсутствует, когда мы имеем дело с функцией Ляпунова. Обобщение этих идей для систем любого измерения было представлено Денном (1970 г.), но для подобных случаев еще не разработаны алгоритмы. [c.107]

Рис, УПЬб. Ограничения, полученные при использовании направляющих функций на составной фазовой плоскости. [c.194]

Недостаток только что представленной методики (6, е) состоит в том, что она требует интегрирования уравнения (VIH, 7). Кроме того, ее применение ограничено только адиабатическим или любым другим реактором, модель Которого может быть сведена к единственному уравнению. Обе эти трудности можно преодолеть, если устанавливать достаточные ограничения, полученные с помощью метода направляющих функций, который был так успеишо использован в гл. V для построения фазовой плоскости второго порядка. [c.194]

Пример VII1-2. Использовать направляющие функции на составной фазовой плоскости, чтобы построить замкнутую ограниченную область для изотермического трубчатого реактора идеального вытеснения при протекании в нем последовательной необратимой реакции [c.195]

Для того чтобы определить удобные расчетные области для трубчатого реактора идеального вытеснения, рассмотрим положительноопределенную направляющую функцию [c.197]

Тщательное изучение последнего примера и областей устойчивости, для которых выще были приведены рис. VIII-10 и VIII-11, показывает, что допустимые отклонения на входе достаточно малы. Такая оценка б связана с экспоненциальным характером зависимости Е от температуры системы и с сущностью метода Н-границ. Обратимся теперь к почти замкнутой области на рис. VIII-7, которая была сравнительно легко получена при использовании метода направляющих функций. В этом случае результаты менее строги. Из сравнения ясно, что только комбинация обоих методов может привести к надежному и легкому в вычислительном отношении результату, дающему замкнутые области. [c.200]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология