ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Уравнения для полей смещений из "Физическая механика реальных кристаллов" При анализе закона дисперсии длинноволновых колебаний ak 1) мы отмечали его совпадение с законом дисперсии звуковых колебаний сплошной среды. Однако интересно проследить, как упрощаются сами уравнения движения кристалла в случае длинноволновых колебаний, т. е. каким образом реализуется предельный переход от уравнений механики кристаллической решетки к уравнениям сплошного твердого тела. Ясно, что в качестве одного из результатов такого предельного перехода мы должны получить известные уравнения теории упругости. [c.90] Соотношения (4.6) должны выполняться для любого атома в кристалле и являются примером дополнительных условий, связывающих элементы силовой матрицы. [c.91] С учетом условия (4,7) рассмотрим решения уравнений (4.1), описывающие слабо изменяющиеся в пространстве поля смещений. Если % — характерная длина волны соответствующих смещений, то мы будем предполагать выполненным неравенство Я а. Тогда различие в смещении эквивалентных (т, е. принадлежащих одной подрешетке и имеющих один и тот же номер в) атомов в соседних элементарных ячейках быз будет очень малым по сравнению с самим смещением б 5 и . Схема смещений атомов одномерного кристалла при таких колебаниях показана на рис. 32, где выделено то обстоятельство, что смещения атомов различных подрешеток имеют, вообще говоря, разные амплитуды и фазы (рисунок соответствует колебаниям атомов двух типов в противофазе). Так как естественный дискретный шаг в решетке также мал в силу условия а Я, то для анализа слабо изменяющихся в пространстве смещений можно использовать ряд упрощений. Будем считать, что, во-первых, координата атома г = Х5 (п) принимает непрерывный ряд значений, а, во-вторых, смещение (п) является непрерывной функцией г. В дальнейшем мы сохраним ту же букву для обозначения этой новой функции. [c.91] Здесь использовано обозначение = d ildXi, которое в дальнейшем будет неоднократно встречаться. [c.92] При длинноволновых смещениях кристалла каждая производная более-высокого порядка отличается от производной предыдущего порядка малым сомножителем а V Ф ф, ак а/Х 1. [c.93] У величин, определяющих макроскопические характеристики кристалла,, координатные индексы (/, к, I и др.) будут писаться внизу. [c.93] Как и при записи уравнения (4.20), в правой части (4.23) оставлены только слагаемые с наиболее низкими пространственными производными от каждой функции. [c.94] Уравнения (4.20) и (4.23) составляют полную систему уравнений для медленно изменяющихся в пространстве смещений кристаллической решетки. То обстоятельство, что относительные смещения связаны условием (4.15), автоматически учитывается в (4.23) за счет свойств (4.16) и (4.19). [c.94] Вернуться к основной статье