ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Уточнение корней из "Программирование и вычислительные методы в химии и химической технологии" Трансцендентные уравнения. Отделение корней трансцендентных уравнений производится либо путем анализа функции / (х) и ее производных, либо путем графического построения зависимости у = f (х). [c.182] В основе первого способа используется следующее положение. Если на концах некоторого интервала изменения аргумента х непрерывная и монотонная функция / (х) принимает различные знаки, то па рассматриваемом интервале существует действительный корень уравнения (8—1). [c.182] Таким образом, чтобы отделить все действительные корни уравнения (8—1), необходимо определить все интервалы монотонности функции / (х). При этом в качестве признака монотонности фупкции можно пользоваться условием знакопостоянства производной. Например, функция / (х) = 1п (кх) х, Л О определена только для положительных значений аргумента. Ее производная / х) = Их + i всюду положительная и, следовательно, / (х) монотонная. Кроме того, при х О f (х) —оо, а при X = к, f (х) = (1/А ) 0. Поэтому можно утверждать, что в рассматриваемом случае уравнение / х) = In (кх) + а = О имеет только один положительный корень, заключенный в интервале (О, 1/к). [c.182] Другой способ отделения корней уравнения (8—1) заключается в том, что строится график функции и определяются точки его пересечения с осью абсцисс, которые с точностью построения графика соответствуют корням уравнения / (х) = 0. [c.182] Иногда удобнее исходное уравнение (8—1) представить в виде Ф (а ) = if) (х) и затем, построив графики функций у = Ц (х) и y = 1 з (х), найти абсциссы их точек пересечения, которые и будут приближенными значениями корней уравнения (8—1). [c.182] При решении инженерных задач отделение корней и оценка начального приближения часто производятся исходя из физических соображений. Например, при определении плотности по уравнению Бенедикта—Вебба—Рубина (см. стр. 397) известно, что паименьпшй корень соответствует плотности паровой фазы, а наибольший — плотности жидкости. [c.182] Алгебраические уравнения. Методы, используемые для отделения корней трансцендентных уравнений, могут применяться и для алгебраических уравнений. Однако их эффективность можно повысить, если воспользоваться некоторыми свойствами многочленов, рассмотренными ниже. [c.183] Многочлен с произвольными коэффициентами. Одна из основных теорем алгебры (теорема Гаусса) гласит, что всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень (в общем случае комплексный). [c.183] Среди корней уравнения (8—2) могут быть и одинаковые. Например, уравнение х = О имеет корень х = 0. Однако, рассматривая процедуру разложения уравнения на произведения линейных сомножителей, можно утверждать, что уравнение ж = О имеет три одинаковых корпя, т. е. х = Хг = Хз = 0. [c.183] Число Xj Называется -кратным корйём уравнения (8—2), если это уравнение делится на х — xj) и не делится на х— Xj) . [c.184] Следовательно, всякий многочлен / (х) степени п (п I) с любыми числовыми коэффициентами имеет п корней, если каждый из них считать столько раз, какова его кратность. [c.184] Отсюда следует, что / (ж) делится на (ж — xj) , но не делится па (ж — Xj) , так как xj не является корнем полинома ф (ж). [c.184] Для таких многочленов справедливы следующие утверждения. [c.184] Число действительных корней алгебраического уравнения можно определить на основе теоремы Декарта, согласно которой число положительных корней уравнения / х) с учетом кратности равно числу перемен знака в системе коэффициентов этого уравнения или меньше его на четное число (равные нулю коэффициенты не учитываются) [26]. [c.185] Для оценки числа отрицательных корней достаточно применить теорему к уравнению / (—х). [c.185] Система коэффициентов уравнения имеет четыре перемены знака +1,-2, +3,—9,+1, следовательно, возможное число положительных корней может быть равным четырем, двум или нулю. [c.186] Вторая производная / (ж) = 12х — 12а +6 = О не имеет ни одного действительного корня, поэтому первая производная не может иметь три действительных корня, а исходный многочлен не может иметь четыре корня. [c.186] Многочлен (8—5) не имеет ни одной перемены знака в системе коэффициентов и, следовательно, не имеет отрицательных корней. Значит, многочлен (8—4) имеет два действительных корня и оба положительные. [c.186] Для определения границ расположения корней можно воспользоваться методом Ньютона [2]. Этот метод заключается в следующем. [c.186] Если при а (а 0) многочлен / (х) и все его производные положительны, то за верхнюю границу положительных корней можно принять число а. [c.186] Вернуться к основной статье