ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Формулы численного интегрирования из "Программирование и вычислительные методы в химии и химической технологии" Если / (х) на (а, Ъ) неотрицательная, то интеграл (9—2) определяет площадь, ограниченную кривой / (х), двумя прямыми х = а и X = Ь и осью абсцисс. Если функция / (х) отрицательная, то интеграл выражает площадь, взятую с обратным знаком. Для знакопеременных функций интеграл выражает алгебраическую сумму площадей, соответствующих интервалам знакопостоянства функции. [c.208] Для того чтобы функция / (х) бйла интегрируема на интервале (а, Ь), достаточно, чтобы она была ограниченна и непрерывна на данном интервале. Условие непрерывности функции не является абсолютным. Если функция имеет конечное число точек разрыва, то она также интегрируема, поскольку эти точки могут быть опущены при. составлении интегральной суммы. Интеграл функции, имеющей конечное число точек разрыва, может быть получен как сумма интегралов на отдельных отрезках между соответствующими точками разрыва. [c.208] Для вычисления определенного интеграла численным методом необходимо его представить в виде суммы площадей. Чем меньше интервалы разбиения, тем точнее будет вычислена интегральная сумма. Однако при этом значительно увеличивается объем вычислений. Максимальная точность получается при бесконечном числе отрезков разбиения. Однако на практике приходится ограничиваться конечным разбиением интервала интегрирования функ-ЦИИ. затэанее допуская некоторую погрешлссть. [c.208] Формулы прямоугольников на практике редко используются для вычисления интегралов с помощью ЦВМ, поскольку при определении интеграла с высокой точностью число интегралов разбиения должно быть весьма большим, что может потребовать значительных затрат машинного времени. [c.210] Метод Симпсона является одним из наиболее распространенных и часто применяемых методов численного интегрирования. В отличие от метода трапеций подынтегральная функция аппроксимируется в пределах двух прилежащих интервалов разбиения квадратичной зависимостью, поскольку для вычисления коэффициентов параболы необходимо располагать тремя значениями функции. Общее число интервалов разбиения при этом должно быть четным. [c.211] При вычислении интеграла по Симпсону число точек обычно задается заранее, но может быть и изменено в процессе вычислений, если не обеспечивается заданная точность. Программы, в которых число точек изменяется в зависимости от точности вычислений, носят название программ с автоматическим выбором шага. [c.212] Метод Гаусса основан на том, что вычисление интеграла как площади, ограниченной подынтегральной функцией, может быть выполнено с более высокой точностью, если выбор местоположения узловых точек производить исходя из минимума отклонений между интегралом И площадью, ограниченной аппроксимирующей зависимостью. В отличие от методов трапеций и СимпсоНа здесь нри выводе формул полагается, что определению подлежат как коэффициенты аппроксимирующей зависимости, так и положение узловых точек. Заранее фиксируется, например, только степень полинома, для которого формула будет давать точное решение. [c.213] Рассмотрим порядок вывода формулы Гаусса на примере двух узловых точек [27]. При наличии двух точек формула трапеций дает точное решение для подынтегральных функций, представляющих собой многочлены первой степени. Однако формула Гаусса при соответствующем выборе этих точек позволяет получить точный результат и для многочлена третьего порядка, поскольку аппроксимирующая зависимость имеет четыре независимых параметра. [c.213] Пусть функция /(ж) интегрируется на интервале (—1,1). Интервал (—1,1) выбран исходя из удобства рассуждений ж не ограничивает общности формул, поскольку для перехода от произвольного интервала (а, Ь) к интервалу (—1,1) достаточно воспользоваться заменой переменных у = (Ь — а) х /2 (Ъ - - а), где X — новая переменная. [c.213] В зависимости от числа узловых точек изменяется степень полинома, для которого формула дает точное значение интеграла, так как при добавлении одной точки его степень увеличивается на два. [c.214] Формулы Гаусса весьма эффективны при вычислении интеграла по немногим узловым точкам при условии, что функция может быть хорошо аппроксимирована многочленом. Их недостатком является то, что при изменении числа узловых точек изменяются коэффициенты аппроксимирующей зависимости, т. е. изменяется все уравнение и решение не может быть продолжено простым добавлением точек. [c.215] Вычисление кратного интеграла связано с интегрированием функции нескольких переменных, заданной в некоторой области, ограниченной в общем случае криволинейными поверхностями. Существует большое число методов вычисления кратных интегралов, которые обычно аналогичны методам вычисления однократных интегралов. Так же как и для однократного интеграла, кратный интеграл заменяется линейной комбинацией значений интегрируемой функции в конечном числе точек. Отличие заключается в том, что область интегрирования является совокупностью точек и-мерного пространства, где п — кратность интеграла. Например, при вычислении двойного интеграла областью интегрирования будет часть плоскости, ограниченной пределами интегрирования по двум измерениям. При вычислении кратных интегралов используются те же формулы, что были рассмотрены для однократных интегралов, только примененные по каждой из переменных подынтегральной функции. Разнообразие методов объясняется тем, что по тем или иным соображениям по разным переменным могут быть использованы различные формулы [29]. [c.215] В качестве примера рассмотрим порядок получения формулы вычисления двойного интеграла в прямоугольные области, дважды используя формулу трапеций. [c.216] Аналогично могут быть получены и любые другие формулы для вычисления как двойного интеграла, так и интегралов более высокого порядка. [c.217] Вернуться к основной статье