ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц из "Программирование и вычислительные методы в химии и химической технологии" Вычисление этих характеристик матриц является одной из распространенных операций, выполняемых над матрицами. По сложности реализации определение собственных векторов является весьма трудоемким, поскольку при известных значениях характеристических корней вычисление собственных векторов сводится к поиску ненулевых решений систем однородных уравнений. [c.282] Методы отыскания собственных значений матриц, основанные на вычислении корней характеристического полинома [29, 32], требуют при реализации развертывания определителя. Корни полинома определяются затем каким-либо методом решения алгеб-раичеикиА уравнений. [c.282] Определить собственные значения и собственные векторы. [c.282] Метод отыскания собственных значений, основанный на решении характеристического многочлена, хотя и позволяет определить все собственные значения, однако прямое его применение весьма сложно, особенно при развертывании определителя высокого порядка. Поэтому для вычислительных машин обычно используются методы, основанные на предварительном преобразовании определителя к виду, из которого уже относительно просто найти коэффициенты характеристического полинома [29]. [c.283] Следовательно, искомые коэффициенты можно получить в результате решения системы линейных уравнений (10—94). [c.284] При вБиислении коэффициентов полинома по методу Лаверье отсутствуют операции деления, поэтому элементы матрицы могут быть любыми числами, в том числе и нулевыми. [c.285] Решение. Поскольку порядок матрицы А равен двум, необходимо вычислить только А . [c.285] Методы вычисления собственных значений матрицы без развертывания определителя чаще всего являются итерационными. В любом итерационном методе объем вычислений определяется заданной точностью и скоростью сходимости, причем последняя в значительной степени зависит от свойства матрицы. В этих методах собственные значения и соответствующие им собственные векторы получаются как пределы некоторых числовых последовательностей [33]. [c.285] Применяя последовательно это преобразование к матрице А, в пределе можно получить диагональную матрицу, элементы которой есть собственные значения. [c.287] На каждом шаге вращения в качестве элемента выбирается наибольший элемент матрицы, не лежащий на главной диагонали. Поскольку процесс преобразования матрицы осуществляется итерационным способом, то при каждом вращении производится проверка на окончание. Для этого задается некоторая точность, с которой сравниваются по абсолютной величине все недиагональные элементы матрицы В. [c.287] Программа, реализующая метод Якоби, представлена на стр. 288. Она состоит из процедуры и обращения к ней. Формальным и параметрами процедуры являются N — порядок матрицы А — матрицы коэффициентов LAM — вектор собственных значений S — матрица собственных векторов. [c.287] Метод унитарных преобразований. Этот метод является обобщением метода Якоби для случая произвольных несимметрических матриц. В нем также используется преобразование подобия (10—100), однако в отличие от метода Якоби исходная матрица А преобразуется не к диагональной, а к треугольной форме. Диагональные элементы преобразованной матрицы В при этом совпадают с собственными значениями исходной матрицы А. [c.287] Число а в матрице (10—107) всегда действительное, а число с в общем случае комплексное. [c.290] В этой формуле знак выбирается так, чтобы получаемое значение ц было наименьшим по модулю. [c.295] При практической реализации метода в качестве исключаемого элемента a j преобразуемой матрицы обычно выбирается наибольший по модулю элемент, расположенный ниже главной диагонали. [c.295] Вернуться к основной статье