Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц

Таким образом, расчет молекулярных орбит сведен к вычислению собственных значений и векторов матрицы А (10—82). [c.282]

Методы вычисления собственных значений матрицы без развертывания определителя чаще всего являются итерационными. В любом итерационном методе объем вычислений определяется заданной точностью и скоростью сходимости, причем последняя в значительной степени зависит от свойства матрицы. В этих методах собственные значения и соответствующие им собственные векторы получаются как пределы некоторых числовых последовательностей [33]. [c.285]

Многие теоретические и прикладные задачи, в которых используются матричные представления, сводятся к вычислению собственных значений и собственных векторов матриц. Несколько примеров таких задач приводится ниже. [c.277]

Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц [c.282]

Одним из наиболее простых методов вычисления собственных значений и собственных векторов симметричных матриц является метод, предложенный Якоби Метод этот заключается в следующем Не лежащие на главной диагонали элементы матрицы А последовательно приводятся к нулю с помощью поворота системы координат на угол а, определяемый из уравнения [c.223]

Для расчета нормированных к единице собственных векторов матрицы О можно воспользоваться итерационным процессом, подробно описанным в примере 2.5 с тем отличием, что при нахождении коэффициентов С сумма квадратов элементов собственного вектора приравнивается не соответствующему собственному значению, а единице. (Отметим, что вычисленные в примере 2.5 нормированные к собственным значениям собственные вектора матрицы М должны быть в - /Х1 раз больше интересуемых нас сейчас нормированных к единице собственных векторов матрицы О). Два первых таких вектора для матрицы О равны [c.53]

Вычисление этих характеристик матриц является одной из распространенных операций, выполняемых над матрицами. По сложности реализации определение собственных векторов является весьма трудоемким, поскольку при известных значениях характеристических корней вычисление собственных векторов сводится к поиску ненулевых решений систем однородных уравнений. [c.282]

Константа скорости мономолекулярной реакции и квазистационарная функция распределения, могут быть найдены также и с помощью решения задачи на собственные значения. В случае дискретной задачи вычисление этих величин сводится к определению минимального по модулю собственного значения матрица А и соответствующего ему собственного вектора. Для поиска собственного значения и соответствующего собственного вектора используется метод обратной итерации с релеевским сдвигом [142] [c.197]

Процедура обратной итерации эффективна при решении частной проблемы собственных значений, т.е. при выделении одного собственного значения. В процессе вычислений приходится иметь дело с плохо обусловленной матрицей, однако процедура быстро сходится, если удачно выбрано начальное приближение. Оператор (А — Л Е) увеличивает проекцию вектора, на который он действует, в направлении собственного вектора и подавляет все остальные проекции. В качестве начального приближения целесообразно выбирать равновесную функцию распределения. Вычислительная практика показывает, что такое начальное приближение обеспечивает сходимость процедуры обратных итераций к искомому минимальному по модулю собственному значению, т.е. к константе скорости. [c.197]

Форма же самой -той МО, т. е. в соответствии с формулой (1-23), набор из N коэффициентов J (/=1, 2,.. ., Ы), называемый также -тым собственным вектором с. системы уравнений (1-24), определяется далее путем решения этой системы после подстановки в нее одного из допустимых значений е,.. Как поиск собственных чисел, так и вычисление собственных векторов системы линейных уравнений всегда можно выполнить стандартными методами линейной алгебры. Сейчас практически все действующие электронные вычислительные машины оснащены программами, которые сами находят все г,, и 5,., если предварительно вычислены матрицы и [49—52]. [c.26]

За удобство (решение каждого уравнения отдельно) плата составляет двойной переход. В целом, однако, в вычислительном смысле получен несомненный выигрыш. Правда, достигнут он цепой решения проблемы вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы, что отнюдь не простая задача. Рассмотрим метод, не требующий решений этой проблемы и стадии предварительной развязки системы [60]. [c.177]

Таким образом, расчет состоит из двух попеременно выполняемых операций расчета матричных элементов Ртп и Зтп, вычисления вектора собственных значений е, и матрицы коэффициентов из (5.3). В зависимости от способа расчета матричных элементов методы расчета подразделяются на неэмпирические и полуэмпирн-ческие. В неэмпирических методах интегралы перекрывания и Рта вычисляются прямым интегрированием соответствующих подынтегральных выражений, построенных из аналитических выражений для АО. Эти выражения имеют, как правило, корректную угловую составляющую и тем или иным способом аппроксимированную радиальную используется слейтеровская аппроксимация, разложение в ряд по гауссианам или экспонентам и другие приемы. [c.193]

В тех случаях, когда исследуется множество, определяемое спектром одной изотопной модификации молекулы, применять методы последовательных приближений нерационально, так как могут быть использованы значительно более простые безытерационные методы получения точек множества. Одним из таких методов является метод проектирования. Выберем любую точку пространства силовых постоянных Г и получим соответствующее ей решение прямой задачи с диагональной матрицей собственных значений Л и матрицей собственных векторов (форм колебаний) Ь. Вычисленные частоты, которые оггределяются матрицей Л, могут сколь угодно сильно отличаться от экспериментально наблюденных значений, которые определяют матрицу Л.-,ко однако матрица [c.19]

Следующим важным этапом на пути алгоритмизации задачи расчета ЭПР-спектра является выбор структуры данных, с которыми предстоит работать вычислительной машине. Использование алгоритма Ланцоша для решения задачи на отыскание собственных значений оператора —(Ь+гГ) позволяет выбрать любой компактный способ хранения матричных элементов, поскольку в процессе вычислений исходная матрица не изменяется. В наших программах применен "блочный способ формирования и хранения матрицы оператора Ь матричные элементы оператора Г хранятся в оперативной памяти отдельно в виде вектора. [c.228]

Здесь С —квадратная матрица ра.чмерпости Ь — 1)Х М-, 7 —вектор. Нахождение собственного значения оператора сводится к вычислению собственного значения матрицы С. [c.89]

Трудности появляются в тех случаях, когда матрица имеет несколько одинаковых собственных значений. Тогда при вычислении собственного вектора с помошью программы Г—Ж получают две строки матрицы, которые состоят из нулей. Это означает, что для компонентов соответствующих векторов можно выбрать произвольные значения и с помощью оставшейся системы найти два линейно независимых вектора. [c.208]

Диагонализация матриц с размерностью менее ста не слишком сложна при использовании существующих ЭВМ и занимает относительно немного времени. Однако для матриц больших порядков эта задача осложняется во-первых, диагонализация матриц больших порядков требует применения ЭВМ с большей оперативной памятью и более высоким быстродействием во-вторых, что особенно важно в квантовохимнческих расчетах с самосогласованием по матрице плотности, точность вычисления собственных векторов и собственных значений должна быть высокой, что приводит к дополнительному увеличению времени расчета. [c.185]