ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Интерполирование из "Программирование и вычислительные методы в химии и химической технологии" Если для данных значений функции линейная зависимость дает значительную погреншость, то можно воспользоваться квадратичной (параболической) интерполяцией у = ах Ъх с, где а, Ъ, с — коэффициенты, определяемые по трем прилежащим узловым точкам. [c.300] Тогда для определения коэффициентов многочлена (11—13) необходимо располагать п 1-й узловой точкой. [c.300] Выражение (11—15) называется определителем Вандермонда и его величина всегда отлична от нуля, если Xi =/= х, для г Ф /. [c.300] Метод построения интерполяционного полинома Р (х), изложенный вьппе, не является единственным. При наличии вычислительных машин он весьма удобен, поскольку сводится к системам линейных уравнений, программы решения которых, как правило, имеются для каждой машины. Однако при ручных расчетах или с помощью клавишных машин его использование сопряжено со значительными трудностями, особенно при высоких степенях полинома. [c.301] Интерполяционная формула Лагранжа. Другой подход к отысканию интерполяционного многочлена по п + 1-й узловой точке, известный как метод Лагранжа, заключается в следующем. [c.302] Многочлен ЛагранЖа может быть построёй йри любом расположении узлов интерполяции. Однако, если для повышения точности интерполирования необходимо включить дополнительные точки, то все коэффициены многочлена необходимо определять заново. [c.303] Программа расчета коэффициентов многочлена Лагранжа для таблично заданных значений функции и аргумента приведена на стр. 304. Вычисления коэффициентов производятся в соответствии с формулой (11—21), причем произведения линейных двучленов числителя определяются по схеме Горнера в процедуре МиЬТР. [c.303] Исходные данные XX — массив значений аргументов — массив значений функции, N — верхняя граница массивов (число точек без единицы). [c.303] Конечные разности. Пусть некоторая функция у = f (х) ъ точках Жо, Хо + Ь, Хо + 2к я т. д. принимает значения Уо, У1.Уп, где Ь, — шаг. [c.303] Конечные разности первого, второго и т. д. порядков удобно представлять в виде таблиц разностей. Для функции у = f х) конечные разности приведены в табл. 18. [c.305] Таблицы разностей используются при обработке экспериментальных данных и, в частности, при интерполировании и экстраполировании функций. [c.305] Если интерполяционный многочлен строится в виде (11—26), то получается формула Ньютона для интерполирования вперед, если же в виде (11—27), то формула Ньютона для интерполирования назад. Выбор формулы определяется той частью табличных значений, которая будет интерполироваться впоследствии. Формула (11—26) более удобна для интерполирования начальных значений функции, а формула (11—27) — наоборот, конечных. [c.306] Формулы Ньютона позволяют легко изменять число узлов интерполирования, а следовательно, и степень многочлена. Действительно, при увеличении числа точек па единицу соответственно на единицу увеличится число членов многочлена и его степень, причем наивысшая степень будет соответствовать последнему члену многочлена. [c.306] Определение коэффициентов формул (11—26), (11—27) производится аналогично, поэтому ниже будет рассмотрен только порядок получения коэффициентов формулы (11—26). [c.306] Этот многочлен называется формулой Ньютона для интерполирования вперед. [c.307] Таким образом, для построения многочлена Ньютона степени п необходимо вычислить конечные разности до п-то порядка. При этом добавление узлов интерполирования не приводит к пересчету ранее вычисленных коэффициентов. [c.307] Составим таблицу конечных разностей функции у = f х) (см. стр. 308). [c.307] Заметим, что многочлен Лагранжа, построенный по этим же точкам, совпадает с многочленами Ньютона. Следовательно, если дана и+ 1 узловая точка, то независимо от способа построения многочлена степени не выше п проходящего через заданные точки, последний определен однозначно в пределах ошибок округления. [c.308] Программа расчета коэффициентов многочлена Ньютона по формуле (11—28) приведена на стр. 309. Исходные данные Х, —массивы значений аргумента и функции, N — размерность массивов. [c.308] Вернуться к основной статье