ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Другой вид вариационных задач из "Аналитические исследования динамики газа и жидкости" Выясним, не являются ли решения без ударных волн в некоторой области изменения переменных наилучшими в той смысле, что допустимыми изменениями энтропии на экстремали нельзя уменьшить сопротивление. [c.93] Полоса О а ir/2 в плоскости а, т разбивается на ряд областей кривыми (3.16) при фиксированном значении цз и различных п. [c.93] Из равенства (3.17) следует, что G a,fi3,1) = G(a, дз,0)+1г. Вспоминая условия (3.20), заключаем из (3.21), что в самом деле Ф sin(i -a) 0. [c.94] До сих пор рассмафивались вариационные задачи с независимой переменной у. Введем в качестве независимой переменной ф, сформулируем вариационную задачу, найдем необходимые условия эксфемума, а затем сравним оба вида решений. [c.95] Величины У( ), А ф), в ф), ро г1)) представляют собой, как и раньше, соответственно, у ф), а( ф), 1 ( ), у ( ) на характеристике ас. [c.97] Сформулируем вариационные задачи 3 и 4, эквивалентные, соответственно, задачам 1 и 2. [c.97] Задача 3. Найти функцию а( ), принадлежашую классу о и реализующую минимум функционала (3.24) при изопериметрических условиях (3.25), (3.26), дифференциальных связях (3.27), (3.28), при заданных функциях ф), А ф), в ф), 1р ф) = Ро ф), заданных величинах Уа, Уь, X, (, граничных условиях (3.29), (3.30) и условиях (3.31) в случае непрерывности функций а, 1 в точке с. [c.97] Лз — постоянные, Л4( ), Л5( ) — переменные множители Лагранжа. [c.97] Здесь величины и и вычисляются по формулам для и и Щ при У, А, 0, равных, соответственно, величинам у,а, в,(р в точке Л. Символ б л означает изменение величины ф в точке Л при движении точки Л в направлении характеристики первого семейства аЛ. [c.98] Уравнения (3.44), (3.45) помимо а ф), д ф) содержат только постоянные величины. Следовательно, величины а и Ь постоянны на экстремали, если при этом ip i ) ipoirp). Из уравнения (3.39) тогда вытекает, что y ip = onst. Этот результат уже был получен в 3.3.1. [c.100] Сопоставляя условия (3.48) и равенства (3.17), (3.51), (3.50), видим, что действительно 0. [c.101] 49) следует, что только неравенство 6 р О, противоречащее условию (3.32), ведет к уменьшению сопротивления х- Таким образом, как и в 3.3.2, заключаем, что решение задач 1 и 3 является одновременно решением задач 2 и 4, если экстремаль лежит в области (3.20) или (3.48). Сопоставление решений. Итак, найдены необходимые условия экстремума вариационных задач в двух вариантах. В одном случае независимой переменной является у, в другом — величина ф. Обе формы решения обладают своими преимуществами и недостатками. [c.101] В случае независимой переменной у при решении задачи 1 множитель Лагранжа Аг является, вообще говоря, переменным. Если течение является изэнтропическим ipQ = onst), то множитель Аг оказывается постоянным в плоском и осесимметричном течениях. Формулы для изэнтропических течений становятся сравнительно простыми. [c.101] Более детально о решении задач 1 и 3 можно сказать следующее. [c.102] В плоском изэнтропическом случае при независимой переменной у уравнение (2.11) интегрируется в конечном виде, а при независимой переменной ф интегрируется соответствующее уравнение (3.27). Искомые величины а, в, ф в первом случае и величины а, в,у во втором случае связаны конечными уравнениями. [c.102] В плоском неизэнтропическом случае, если независимой переменной является i , уравнение (3.27) интегрируется в квадратурах, и решение на экстремали получается в замкнутом виде. [c.102] В осесимметричном изэнтропическом случае, если за независимую переменную принята величина у, уравнение (2.11) интегрируется в квадратурах, и решение на экстремали также представляется в замкнутом виде. [c.102] В осесимметричном неизэнтропическом случае система равенств, определяющих искомые функции на экстремали при любой из независимых переменных у к ф, включает два дифференциальных уравнения. [c.102] Таким образом, и в плоском, и в осесимметричном случаях функция тока 1р линейно зависит от у на экстремали, полученной при решении задачи 2. [c.103] Вернуться к основной статье