Другой вид вариационных задач

Динамическое программирование представляет собой не более как средство решения задач, которые могут быть решены и другими способами. Ценность динамического программирования состоит в другом подходе к решению задач. Однако возможности динамического программирования далеко не исчерпываются этим. Оно дает математический аппарат для решения задач, которые раньше не умели решать или игнорировали. Динамическое программирование может быть использовано для решения многих задач вариационного исчисления, которые не решаются с помощью классических методов. В частности, вариационные задачи с ограничениями типа неравенств, решение которых связано со значительными трудностями, очень легко решаются методом динамического про- [c.21]

Другие вариационные задачи [c.171]

Полученное решение представляет, с одной стороны, осесимметричное течение, в котором подъемная сила ( обязательно равна нулю, с другой стороны — плоское течение, в котором подъемная сила может быть задана. Таким образом, здесь нельзя говорить о самой общей вариационной задаче. В связи с этим рассмотрим различные конкретные случаи. Порядок расчета при Аз(1 — i/) = 0. Этот случай представляет либо плоское течение, в котором величина подъемной силы не задается, либо осесимметричное течение. [c.80]

Другой вцд вариационных задач [c.95]

Из (3.49) следует, что только неравенство 6<р < О, противоречащее условию (3.32), ведет к уменьшению сопротивления х- Таким образом, как и в 3.3.2, заключаем, что решение задач 1 и 3 является одновременно решением задач 2 и 4, если экстремаль лежит в области (3.20) или (3.48). Сопоставление решений. Итак, найдены необходимые условия экстремума вариационных задач в двух вариантах. В одном случае независимой переменной является у, в другом — величина ф. Обе формы решения обладают своими преимуществами и недостатками. [c.101]

В 2.3 показано, что при условии совершенно свободного выбора пробных функций уравнение Шредингера имеет смысл уравнения Эйлера вариационной задачи. Но на примере вариационного расчета энергии основного состояния атома Li мы убедились, что для получения правильных аппроксимаций решений уравнения Шредингера, верно описывающих физическую реальность, пробные функции нельзя выбирать совершенно произвольно, необходимо учитывать ограничения, налагаемые запретом Паули. Природа, так сказать, не терпит свободного варьирования, она предпочитает варьирование с ограничениями. Пробные функции Хартри—Фока для одноэлектронных орбиталей, строящиеся с учетом принципа Паули и других ограничений, позволяют создать модели молекул, отражающие реальную действительность. [c.54]

Ниже будет рассмотрена задача, поставленная выше. Другие физические задачи приводят к таким же математическим формулировкам например, реактор, температура в котором должна изменяться как функция времени. Иногда при постановке задачи мы будем накладывать ограничения на и, тогда решение задачи будет связано с теми методами вариационного исчисления, которые были недавно получены Понтрягиным [23] и др. В 8 будет показано, как ряд связанных между собой задач, которые мы рассматриваем, может быть приведен к определенной математической форме. [c.295]

Методы поиска экстремума могут быть использованы не только для целей оптимального выбора конструктивных параметров, но и наряду с другими методами их можно применять для решения системы алгебраических (трансцендентных) уравнений, В этом случае решение определяется путем минимизации соответствующей функции этих уравнений. Наоборот, в вариационном исчислении решение системы уравнений может быть сведено к непосредственной минимизации. В связи с этим интересно заметить, что, хотя решение любой вариационной задачи может быть сведено к решению системы уравнений, обратное не всегда справедливо, так как можно найти систему уравнений, которая не может быть получена путем приравнивания нулю частных производных некоторой функции [2, стр. 18]. [c.161]

С формальной стороны энтальпия представляет собой потенциальную энергию, а энтропийная составляющая — меру кинетической энергии системы. Если полагать справедливым принцип наименьшего действия по отношению к химическим процессам, то описание переходного режима реакции может быть сведено к вариационным задачам физики. Такой подход соответствует интуитивным соображениям, что процесс перестройки химической структуры (каким бы он ни был, просто химическим или каталитическим) всегда протекает по линии наименьшего сопротивления , т. е. с наименьшими затратами свободной энергии. В этом смысле реакционная система подобна идеальному автоматическому устройству из множества маршрутов движения выбирает тот единственный, на котором барьер, разделяющий исходное и конечное состояния, имеет наименьшую высоту Трудно отказаться от банального, но вполне точного сравнения если перед вами гора или, даже лучше, две горы, то какой путь вы изберете, чтобы оказаться за перевалом Это зависит от настроения и времени. Если вы не располагаете ни тем, ни другим, вы не будете лезть в горы, чтобы с их вершин полюбоваться расстилающимися внизу окрестностями, а постараетесь выбрать путь, который быстрее доведет до цели. Представьте себе, что реакционная система тоже не имеет лишнего времени. Но мы не будет вдаваться в математические подробности, а нарисуем качественную картину. [c.67]

Как и всегда при выводе интегрального принципа из принципа наименьшего рассеяния энергии в представлении через силы, в необходимом условии (6.93) максимума (6.90) варьирование производится только по внутренним переменным. В данном примере у нас есть две такие внутренние переменные, а именно V я ю. Следовательно, в вариационной задаче (6.93) мы варьируем только по о и со независимо друг от друга, а все остальные величины считаются при варьировании фиксированными. Значит, о и (О, т. е. производные по времени от скорости и угловой скорости, не изменяются, не изменяются также р я Р, обусловливающие недиссипативные процессы ), и, наконец, ничего не варьируется вдоль граничной поверхности, т. е. Р и V фиксированы вдоль границ. В случае заданных условий вариации объемный интеграл в необходимом условии (6.93) определяет максимум в [c.230]

В термодинамике эти функциональные производные играют очень важную роль, и выяснить ее достаточно легко. В соответствии с вариационным условием 6Гг = 0 в вариационные задачи термодинамики не входит производная (6.144). С другой стороны, сравнение общей формы термодинамических уравнений Эйлера — Лагранжа (6.54) с (6.145) показывает, что справедливо соотношение [c.248]

Оптимальная степень релаксации и, следовательно, структура некогерентной границы зависят от объема и формы кристалла. Поскольку появление межфазных дислокаций с плотностью р приводит, с одной стороны, к эффективному уменьшению собственной деформации на величину г Ьр и, следовательно, уменьшению упругой энергии, а с другой — к увеличению межфазного поверхностного натяжения на Сй р, оптимальное распределение дислокаций на межфазной поверхности при заданном их типе находится решением соответствующ ей вариационной задачи и является функционалом объема и формы кристалла [53]. В рассмотренном выше случае, когда форма кристалла постоянна, отмеченное обстоятельство приводит к замене выражения (14) на [c.362]

Кроме указанных четырех постановок условных вариационных задач на нахождение спектров Фурье, В.Н. Страховым рассматриваются еще и целый ряд других постановок, в кото- [c.48]

Следует также отметить, что множители Лагранжа часто применяют и в других методах оптимизации в качестве вспомогательного средства, позволяющего упростить решение более сложных задач (подробно см. главы, посвященные изложению вариационного исчисления и динамического программирования). [c.139]

При расчете тензорных полей различают в основном два подхода. При первом подходе исходят из дифференциальных уравнений, описывающих поведение ФХС в локальной бесконечно малой области пространства. Другой подход состоит в формулировке вариационного экспериментального принципа для всей (глобальной) области, в которой ставится краевая задача. Здесь решение являет- [c.10]

Применение классических методов математического анализа и вариационного исчисления для оптимизации химических реакторов наталкивалось на значительные затруднения, связанные с наличием в реальных задачах ограничений на фазовые и управляющие переменные. Аналогичные трудности возникали при постановке оптимальных задач в других областях науки и техники. Это способствовало развитию таких мощных методов, как метод динамического программирования принцип максимума методы нелинейного программирования 2о-22 [c.10]

Понятие сопряженного процесса является обобщением понятия сопряженной системы, применяемой в вариационном исчислении для формулировки необходимых условий оптимальности [37] (в принципе максимума Понтрягина сопряженную систему использовали применительно к задаче оптимального управления [19]). С появлением вычислительной техники и началом бурного развития методов численного решения задач оптимизации было обращено внимание на другой аспект возможного использования сопряженной системы, а именно, на удобство получения с ее помощью градиента оптимизируемой величины. [c.139]

Предлагаемая вниманию читателей книга выдающегося ученого, академика Бельгийской академии наук, действительного члена Национальной инженерной академии США, профессора Мориса Био представляет большой интерес для теплофизиков и теплотехников. Разработанный им метод вариационного исчисления позволяет решать широкий круг задач теплопроводности и теплопередачи, в частности задачи нестационарной теплопроводности в телах сложной конфигурации, конвективного теплообмена при ламинарном, и турбулентном течении, провести расчеты теплопередачи в теплообменных аппаратах и т. д. Известно, что все вариационные методы решения задач математической физики, в том числе и вариационный метод М. Био, являются приближенными методами. Однако по сравнению с другими вариационными методами, применяемыми в задачах теп-лопереноса, метод М. Био является наиболее точным, так как варьирование происходит по вектору теплового смещения, в результате чего в основных соотношениях отсутствуют пространственные производные температуры. Это дает возможность получить высокую точность приближенных решений, а также решать такие задачи, когда распределение температуры в теле описывается прерывными функциями. Вариационный метод М. Био является аналогом вариационного метода Журдена в классической аналитической механике, в котором варьирование происходит по скоростям. Известно, что в аналитической механике на основе понятия виртуальной работы используются вариационные методы Гаусса и Далам-бера — Лагранжа. На основе этих методов разработаны и другие вариационные методы решения задач тепло-переноса, как, например, вариационный метод И. Дярма-ты, но они разработаны не в такой степени, чтобы решать широкий круг задач теплопереноса, как при помощи метода М. Био. [c.5]

Если бы можно было точно рещить уравнение Шредингера для молекулы, мы получили бы полный набор энергетических уровней и соответствующих им волновых функций, посредством которых легко найти искомые характеристики. Невозможность точно решить уравнение Шредингера для такой сложной системы, как молекула, приводит к необходимости отыскания приближенных решений. Одним из таких приближений является интерпретация незанятых молекулярных орбиталей, получающихся при расчете основного состояния молекулы методом МО ЛКАО, как состояний, в которые переходит электрон при возбуждении. Однако достаточно хорошего совпадения результатов этого расчета с экспериментальными данными при такой интерпретации не наблюдается. Это объясняется тем, что с помощью вариационного принципа можно получить только минимальную энергию. Для отыскания первого возбужденного уровня следовало бы решать другую вариационную задачу, в которой искомая функция должна обеспечивать минимум энергии при дополнительном условии ее ортогональности к волновой функции основного состояния. Однако решение такой задачи очень сложно и нецелесообразно, поскольку оно позвол5 ет получить только один возбужденный уровень, а не спектр уровней. Поэтому следует идти другим путем — уточнять решение приближенного уравнения, например методом конфигурационного взаимодействия (см. гл. I). [c.131]

Кроме того, на примере оптимизации реактора изложен подход к решению реальной вариационной задачи с ограничениями типа неравенств. Решение этих задач представляет собой, вообще говоря, весьма сложную проблему. Однако задачу оптимизации реактора идеального вытеснения все же можно решить, если принять во внимание некоторые свойства оптимизируемого процесса. К сожалению, и общем случае не представляется возможным указать достаточно удобные методы решения вариационных задач с ограничениями тйпа неравенств. Поэтому для каждого конкретного процесса приходится искать са.мый удобный прием или же решать задачу с помощью других методов, например динамического программирования или принципа максимума, более приспособленных для решения таких адач. [c.222]

Можно построить и другой алгоритм, упрощающий решение вариационных задач- Заманчивым представляется сочетание методов вариационного и динамического программирования- Применив кусочно-линейную аппроксимацию, можно оптимизировать функционал У по кусочкам от конца интервала к началу т,,. В соответствии с принципом динамического программирования это обеспечит оптимальную величину всему функционалу У =2 г Так, для N участка, зная Х = x ж определив как функцию а я-1> Х[ = х , (х —Хд/.хУАт, Ат, можно найти, используя однофакторный поиск, величину обеспечивающую экстре- [c.215]

Другим эффективным методом решения задач оптимального резервирования ХТС является градиентный [231]. Основная идея этого метода состоит в том, что значение экстремума критерия эффективности отыскивается последовательными шагами из начальной точки, oпpeдeлJ eмoй исходным вектором состава поэлементного резерва ХТС Хо, в направлении градиента критерия. При этом для решения вариационной задачи не требуется знать аналитическое выражение для критерия эффективности, а необходимо иметь лишь значения критерия и его первых частных производных в точках, расположенных на траектории движения к экстремуму КЭ и определяемых векторами состава поэлементного резерва ХТС X(i), где I — номер шага оптимального поиска. [c.206]

Пусть точка Л расположена так, как это показано на рис. 3.22, и принадлежит области (4.12). Это означает, что в плоскости a,i , точка Л расположена ниже кривой VSU, определяемой равенством (4.8) при п = 0. На рис. 3.23 точку h отметим символом Hq в соответствии с индексацией 3.1.2. Очевидно, что из точки Ло для получения решения вариационной задачи необходимо перейти некоторым путем ЛоЛд в область (4.11) так, что точка ftg будет принадлежать этой области. При всяком допустимом непрерывном переходе по крайней мере часть кривой /iq/iq принадлежит (рис. 3.24) области (4.12). Это означает, что участок /io/iq может быть проварьирован так, что величина х уменьшится. Остается использовать разрывный переход из одной области в другую. При безударных течениях допустим только изэнтропический разрыв (3.1.2), обусловленный фокусировкой характеристик первого семейства ahk в точке h (рис. 3.22). Такой переход в плоскости a,i (рис. 3.23) производится по характеристике второго семейства h(jh и характеристике первого семейства /11/14. [c.119]

Хотя метод возмущений, вообще говоря, играет в квантовой химии важную роль, для наших целей он имеет меньшее значение, чем вариационный метод, и поэтому мы ограничимся здесь только рассмотрением его принципа. Использование метода возмущений удобно в тех случаях, когда необходимо найти решение уравнения Шрёдингера Е , Т,) для задачи, незначительно отличающейся от другой, приближенной задачи, для которой решение е, Ф ) известно. В таком случае искомое решение Е1, выражается через известные значения Е1 и ,-. Считается, что исследуемая система образуется из исходной системы под действием некоторого возмущения. Эту ситуацию можно наглядно представить следующим образом [c.79]

Тем более недопустимо ориентироваться на экстремум только частного показателя эффективности в обычных, общих задачах экономической оптимизации. К этому вопросу мы вернемся еще раз при обсуждении влияния конкретных условий постановки задачи на выражение критерия оптимизации. Пока отметим лишь, что если минимизируется только себестоимость продукции при заданных или ограниченных значениях производительности, качества и капиталовложений либо максимизируется производительность при заданной или ограниченной себестоимости и т. д., то решающим является способ выбора этих заданных или ограничивающих значений неэкстреыизируемых показателей. С одной стороны, так называемый волевой выбор или любой другой, не вытекающий из решения вариационной задачи, приводит к неоптимальному в общем экономическом смысле решению. С другой стороны, если предполагается, что выбор этих заданных значений показателей также представляет собой результат решения более общей задачи оптимизации, но на более высоком (иерархически) уровне, то все равно для такого решения оказывается необходимым соответственно более общий критерий оптимизации, удовлетворяющий указанным выше требованиям. Иными словами, нужен критерий, позволяющий соизмерять экономические последствия всех основных аспектов экономической эффективности. [c.47]

Другой способ учета эффектов корреляции электронов состоит в использовании метода конфигурационного взаимодействия (КВ). В этом случае полная волновая функция строится в виде линейной комбинации слетеровских детерминантов, соответствующих всем возможным возбужденным конфигурациям. Далее решается вариационная задача и определяются статистические веса каждой из конфигураций. Практическое применение различных методов КВ ограничивается трудоемкостью расчетов. [c.42]

Зависимость (VI 1.40) может быть получена путем решения вариационной задачи о наиболее вероятном состоянии ансамбля систем, обменивающихся друг с другом энергией. При этом можно предположить, что ансамбль в целом является изолированной системой и к нему применим принцип равной вероятности квантовых состояний (микроканоническое распределение для ансамбля в целом). Вывод по существу оказывается аналогичным тому, который был исп льзо-ван для большого канонического ансамбля в гл. V, с тем отличием, что для каж- [c.180]

Естественно, что нелинейные вариационные задачи, справедливые в том случае, когда X зависит от температуры, и приводящие к нелинейной форме уравнений переноса, подобной последнему уравнению, представляют собой тип задач, значительно отличающихся от тех, возможная теория которых упоминалась в гл. V, 5. Это достаточно очевидно, поскольку нелинейные конститутивные уравнения (5.82) определяют нелинейные соотнощения между потоками и силами. Если же назвать это нелинейностью в точном смысле слова, то необходимо сказать, что при исследовании проблемы в универсальном Г -представлении можно исключить только нелинейности типа Х = Х(Т) (или другие подобные), т. е. нелинейности более слабые. Конечно, введение универсального Г -представления возможно не только для теплопроводности, но (при выполнении соответствующих условий) и для других проблем переноса. Вот почему Г -представ-ление, разработанное Фархашем [85], очень полезно в практическом отношении. [c.218]

Другое осложнение, с которым можно встретиться при исиоль-зованип агшарата вариационного исчислении, состоит в том, что 1)ешение довольно значительного класса оптимальных задач вооби1,е нельзя представить непрерывными функциями илп функциями с непрерывными производными первого порядка. Простейшим примером такой задачи, в которой решение имеет разрывные производные первого порядка, является задача минимизации функционала [c.242]

В настоящее время нет общего метода решения задач циклической оптимизации. Все используемые алгоритмы основаны на классических понятиях вариации функционала и модифицированного принципа максимума. Наиболее общим и обоснованным является градиентный метод, основанный на вариационном исчислении. Суть этого метода была изложена еще в работе [7]. Задается фиксированная продолжательность периода с и определяется (численно) соответствующее ему оптимальное управление, затем задается другое значение периода и определяется соответствующее ему другое оптимальное управление. После этого сравнивают значения целевых функционалов и с помощью направленного поиска определяются значение оптимального периода. Конечно, такой подход требует больших затрат машинного времени. В работе [72] разработан другой численный алгоритм. Здесь не использовались условия цикличности. Оптимальное управление определялось на достаточно большом отрезке времени с произвольными начальными условиями. [c.292]

Теория основывается ка существовании двух тпиов условий, примен-яемых всегда при оптимальном проектировании, причем первое (вариационное условие) применяется к каждому слою поочередно, а другое (соответствие скоростей) применяется к степени охлаждения между каждым слоем и следующим. Эти условия модифицируются определенным, точно вычисляемым образом с учетом ограничений рабочих температур. При использовании этих условий решение задачи оптимального проектирования сводится к поиску ряда параметров, число которых не превышает числа различных [c.176]

Вариационные принципы, порождающие системы уравнений пцро-динамики, используются как при исследовании задач математической физики, так и дпя построения численных методов рещения таких задач. Этапы создания принципов отражены в публикациях [1-20] и в цитированных в них работах. Усилия в этой области направлены, с одной стороны, на построение интефальных функционалов, аккумулирующих в себе уравнения конкретных задач, а с другой стороны, — на достижение общности вариационных принципов. [c.7]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология