ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Необходимые условия экстремума из "Аналитические исследования динамики газа и жидкости" Пусть заданы равномерный набегающий поток газа с вектором скорости параллельным оси х и две точки а и Ь, которые должны быть соединены искомым контуром аЬ. (Случай неравномерного набегающего потока здесь рассматриваться не будет.) Тот случай, когда Уь Уа, был рассмотрен в пре-дьщущих главах. Если же уь у а, то контур аЬ вызывает появление в потоке ударной волны, которая называется обычно головной. Будем изучать Рис 3 4j только случай присоединенной ударной волны, выходящей из точки а. На рис. 3.41 ударная волна изображена линией ас. [c.148] Для решения этой задачи в качестве контрольного контура L выберем замкнутую линию асЬ, состоящую из линии ударной волны ас, характеристики второго семейства сЬ, проходящей через точку Ь, и искомого контура аЬ. [c.148] Сформулируем вариационную задачу о контуре аЬ, обеспечивающем минимальное волновое сопротивление. [c.151] Эта задача может быть видоизменена благодаря следующим рассуждениям. Проведем через точку с (рис. 3.41) характеристику первого семейства, которая пересечется с контуром аЬ в некоторой точке /. Малые изменения части контура /Ь не влияют на течение в области о/с. Следовательно, если контур аЬ имеет минимальное сопротивление, то и часть контура fb имеет минимальное сопротивление при фиксированной характеристике /с. В противном случае сопротивление всего контура могло бы быть уменьшено за счет уменьшения сопротивления его части. [c.151] Задача построения контура, обладающего минимальным сопротивлением, (такого, как /Ь) при заданной исходной характеристике первого семейства (такой, как /с) была решена в 3.2-3.4. В частности, при независимой переменной ф такое решение было получено в 3.3.3. Искомые функции на экстремали в этом случае определяются уравнениями (3.27), (3.37)-(3.39), (3.43). [c.151] Из сказанного видно, что при схеме течения, изображенной на рис. 3.41, функция а ф) выражается через р ф) независимо от полного решения задачи 6, что сокращает количество свободных функций на единицу. Видоизменение задачи б может быть произведено добавлением уравнений (3.37)-(3.39), (3.43) в качестве дополнительных связей. Такое преобразование является правомерным в силу независимости определения связи между функциями а ф) и ф ф) от условий задачи 6. Подчеркнем, что это преобразование не относится к инволюционным преобразованиям, правомерность которых для вырожденных вариационных задач в настоящее время не изучена. [c.151] установлено, что количество свободных функций в задаче 6 может быть уменьшено на единицу. Самого преобразования вариационной задачи производить не будем, а упомянутые связи получим при ее решении. [c.152] С равенством (6.17) связано известное свойство ударных волн увеличение угла наклона ударной волны ст приводит к увеличению энтропии газа за ударной волной. Таким образом, функция р увеличивается вместе с ст. Отсюда видно, что вариация i t О допустима только тогда, когда (р (т ф) (p t). Из сказанного ранее заключаем, что величина х не может быть уменьшена за счет увеличения ст только при условии р а ф) = фЦ)). Последнее равенство приводит к краевому экстремуму. Итак, решению задачи 6 в осесимметричном случае или в плоском случае без ограничений на подъемную силу профиля соответствуют течения с головной ударной волной, не содержащие иных ударных волн в области abe, если интенсивность ударной волны может быть изменена малыми вариациями контура аЬ. [c.153] Заметим попутно, что схема течений с ударными волнами, изображенная на рис. 3.17 не противоречит сформулированному утверждению, поскольку в этом случае малые деформации контура аЬ не вызывают появления головной ударной волны. [c.154] При выполнении этого равенства в задаче 6 по существу сохраняется одна свободная функция а(ф). Таким образом, возникает новая задача. [c.154] Равенства (6.39), (6.40) являются интегралами уравнений задачи 7. В этом можно убедиться непосредственной проверкой. [c.157] Елисеев и Б. М. Киселев сообщили автору, что при V = 1 равенство (6.41) выполняется в силу уравнений (6.30), (6.39), (6.40). Это утверждение имеет место и здесь. Для его проверки удобнее подынтегральные выражения в контурных интегралах по ас в (6.7)-(6.9) записать не через функции в невозмущенном потоке, а через функции за ударной волной. [c.158] Отмеченное свойство условия (6.41) имеет место, если разрыв величин в точке с обусловлен только ударной волной ас (класс Р ). [c.158] Вернуться к основной статье