Необходимые условия экстремума

Особые точки и линии целевой функции. Как известно (см. главу 111), необходимым условием экстремума функции многих переменных является выполнение системы равенств [c.484]

Аналитические методы сводятся к непосредственному определению параметров точки экстремума функции многих переменных. Легко установить необходимые условия экстремума. Если изменять только один из X, например х- , то у будет функцией только одной переменной с экстремумом в точке х = Х - Но в этой точке производная у по х, должна обратиться в нуль. Следовательно, для функции многих переменных необходимые условия экстремума запишутся в виде [c.177]

В общем случае требуется оценить одновременно несколько параметров одномерного или многомерного распределения. Если а и X понимать как векторы, то формулировка принципа максимального правдоподобия сохранится надо найти такую совокупность допустимых значений параметров ai, Ог, . .., аи , которая обращает функцию правдоподобия в максимум. Необходимые условия экстремума дает система уравнений [c.26]

Необходимые условия экстремума состоят в равенстве нулю всех первых частных производных от . В результате получается (п т) уравнений с (п т) неизвестными X и Ь. Решение этих уравнений относительно переменных X п Ь позволяет определить положение стационарной точки. Таким образом, использование вспомогательной функции Ь(Х,А) и Вспомогательных множителей Л позволяет заменить задачу с дополнительными условиями вида (3.1.2) задачей без дополнительных условий. [c.124]

Необходимое условие экстремума Куна—Таккера для точки л — существование векторов [х 7 , Я, Я -р, удовлетворяющих уравнениям [c.220]

Поиск заканчивается, когда имеется решение, удовлетворяющее необходимым условиям экстремума. [c.221]

В последнее время в работах А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина был развит общий метод получения необходимых условий экстремума в оптимальных задачах, позволивший, в частности, значительно упростить доказательство принципа максимума. [c.178]

Необходимые условия экстремума. Для решения задачи 4 составим сумму [c.97]

Метод Лагранжа дает необходимые условия экстремума в явной форме. Однако подробности решения далеко нетривиальны, и вычисления оказываются громоздкими даже для простейших случаев, рассмотренных выше. Более сложные системы приведут к совместно решаемым нелинейным уравнениям еще более высокого порядка. Поэтому следует ожидать, что некоторые преимущества мог иметь альтернативный метод исследования. Один из вариантов такого метода был предложен Бергером и Лапидусом (1968 г.). [c.101]

Необходимым условием экстремума ] является б/ 0. В вариационном исчислении доказывается (основная лемма), что это [c.102]

На основе необходимых условий экстремума найдена [26, 27] величина максимального сопротивления одной осесимметричной конфигурации, обтекаемой сверхзвуковым потоком. [c.47]

Необходимые условия экстремума [c.75]

Теперь, когда выяснена возможность удовлетворения необходимых условий экстремума, вернемся к рис. 3.8 и выясним условия, при которых достигается минимум сопротивления х- [c.77]

Допустим, что необходимые условия экстремума удовлетворены. На кривой ЪН имеем Ф<, = 0. Пусть над кривой ЬЛ (при 6а > 0) [c.77]

Вместе с тем желательно убедиться в том, что характеристика ЛЬ, построенная на основе необходимых условий экстремума, удовлетворяет хотя бы каким-то необходимым условиям минимума. С этой целью в 3.3 и 3.4 будут выведены некоторые необходимые условия минимума. [c.81]

Свойства решений. Вспомним, что необходимыми условиями экстремума при непрерывном решении задачи 1 являются уравнения (2.11), (2.15), [c.84]

В этом разделе рассмотрены такие течения, которые не содержат ударных волн в области, ограниченной контрольным контуром ab . Выведены необходимые условия экстремума. Построены схемы, при которых вариационная задача разрешима. [c.88]

Из (3.49) следует, что только неравенство 6<р < О, противоречащее условию (3.32), ведет к уменьшению сопротивления х- Таким образом, как и в 3.3.2, заключаем, что решение задач 1 и 3 является одновременно решением задач 2 и 4, если экстремаль лежит в области (3.20) или (3.48). Сопоставление решений. Итак, найдены необходимые условия экстремума вариационных задач в двух вариантах. В одном случае независимой переменной является у, в другом — величина ф. Обе формы решения обладают своими преимуществами и недостатками. [c.101]

Итак, при условии 1р ф) > Ра( ф) необходимыми условиями экстремума X являются уравнения (3.39), (3.44), (3.45), (3.54), определяющие функции у, а, <д, и граничные условия (3.57), (3.58), (3.30). Величины Л2, Лз определяются условиями (3.25), (3.26). [c.106]

В разделах 3.2 и 3.3 были рассмотрены необходимые условия экстремума величины волнового сопротивления в тех случаях, когда исходная характеристика не разрушается. Определены области, в которых течения с ударными волнами не допустимы. В задачах этого типа полезно дополнительно исследовать необходимое условие минимума волнового сопротивления. Следующий раздел будет посвящен этому вопросу. [c.107]

Возвратимся снова к задаче 1. Пусть для этой задачи удовлетворены все необходимые условия экстремума. Это означает, в частности, что найдены постоянные Лз, A4, а таюке функции а(у), a(y), ip(y), Ai(y), удовлетворяющие уравнениям (2.11), (2.30), (2.36), (2.37) при As(y) = 0. В рещении задачи эти функции определяются на характеристике bh. [c.108]

Выведем теперь еще одно из возможных необходимых условий минимума. Такие условия позволяют отбрасывать непригодные решения из полученных на основе необходимых условий экстремума. [c.109]

Необходимые условия экстремума при схемах решения, изображенных на рис. 3.14 и 3.22, отличаются только тем, что два условия [c.121]

При обращении 61 в нуль сумма, стоящая в скобках, также должна равняться нулю. Использование необходимых условий экстремума на характеристике ЛЬ в точке Ь позволяет преобразовать эту сумму и получить равенство [c.141]

Итак, необходимыми условиями экстремума х задаче 7 с учетом последней оговорки являются щесть уравнений (6.10), (6.30), (6.38)- [c.158]

Общие условия равновесия термодинамических систем заключаются в том, что в состоянии равновесия энтропия и термодинамические потенциалы имеют экстремальное значение. Так, в случае систем с постоянными значениями энтропии, объема и чисел молей компонентов условием равновесия является минимум внутренней энергии, что выражается неравенством А/7>0 или двумя соотношениями б /=0 и б /2>0. При выводе конкретных условий равновесия достаточно лишь первого соотношения (б1/=0). Однако равенство нулю первой вариации является лишь необходимым условием экстремума и не обеспечивает того, чтобы внутренняя энергия была минимальной. Достаточным условием минимума внутренней энергии является положительное значение ее второй вариации, которое и обеспечивает устойчивость равновесия. [c.211]

Если функция Ф(а) достигает минимума в некоторой точке открытого множества А, то эта точка является стационарной (необходимое условие экстремума). Для достижения функцией Ф(а) в стационарной точке йс минимума необходимо, чтобы для этой точки все диагональные миНоры Д( (/ = 1, 2.....п) [c.218]

Тогда КЗ необходимого условия экстремума соответствующей функции Лагранжа получим [c.104]

Теперь нужно записать условия экстремума функции R по одной переменной 5. Необходимое условие экстремума есть равенство нулю первой производной от функции. В данном случае [c.257]

Уравнения Эйлера выводятся как необходимые условия экстремума функционала. Поэтому полученные интегрированием системы дифференциальных уравнений функции должны быть проверены на экстремум функционала (см. главу V, стр. 213). [c.32]

Перечисленные условия, т. е. равенство нулю или отсутствие производной, являются, как уже отмечалось выше, только необходимыми условиями экстремума. Их выполнение еще не означает, что в данной точке функция имеет экстремум (рис. III-2). Для того чтобы определить, действительно ли в указанной точке существует экстремум, или же при этом справедлив один из [c.93]

Рис. 111-3. Проиерка точки, и которой выполняются необходимые условия экстремума.

Необходимым условием экстремума функции многих переменных, как известно является равенство нулю дифференциала этой ( 1унк-ции в экстремальной точке, т. е, [c.140]

Часгпое реикине системы уравнений (IX,63), определяющее точку, в которой выполняются необходимые условия экстремума функции (IX,62), будет [c.501]

Декомпозиционные методы, основанные на использовании необходимых условий экстремума (блок G), являются развитием работ Джексона, в которых впервые была проведена декомпозиция задачи оптимизации ХТС на основе классического вариационного приближения. Наиболее значительны в этом направлении работы Ласдона (методы GI и СП), Мезаровича, Куликовского. Очень часто декомпозиционные методы называют многоуровневыми или двухуровневыми, что отражает структуру их использования и построения. [c.180]

В результате из необходимых условий экстремума при условиях (56) получено недостававшее нам ранее уравнение. Теперь можно решать систему уравнений (56), (8) относительно неизвестных 1п любым методом решения систем нелинейных уравнений. Мы воспользуемся методом Ньютона. Производйьхе от (56) но 1п Ь суть элементы / = 1, 2,. . ., т—2), а [c.178]

Метод основан на тон, что функция R R J( ,X имеет экстремум, если в точке,подозреваемой на экстремум, производные О С необходимое условие экстремума ) и вйлизи точки, гйдозрвЕвемой на экстремум, меняется знак производных С ). [c.53]

Постановка вариационной задачи для плоскопараллельных и осесимметричных сверхзвуковых течений газа на основе полных нелинейных уравнений с использованием контрольного контура принадлежит Гудер-лею и Хантшу [3], которые рассмотрели задачу об оптимизации формы сопла Лаваля для случая стационарного течения несовершенного газа. Результаты этой работы приводят к краевой задаче для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих искомые функции на контрольном контуре. К тем же результатам при решении задач внешнего обтекания независимо пришли Зандберген и Валле [4]. Несколько раньше в работах [5, 6] было опубликовано решение ряда вариационных задач газовой динамики для внешних и внутренних сверхзвуковых течений совершенного газа. В этих работах решена краевая задача для нелинейных дифференциальных уравнений на характеристике контрольного контура. В случае безвихревых потоков решение представлено в явном виде. В случае вихревых течений решение сведено к задаче Коши для дифференциального уравнения. Стернин [7] обратил внимание на то, что в одной точке характеристики контрольного контура, построенной на основе необходимых условий экстремума, ускорение может стать бесконечно большим, и нашел геометрическое место таких точек в плоскости годографа скоростей. Это геометрическое место встретилось в дальнейшем при исследовании необходимых условий минимума сопротивления. [c.46]

Результаты работ [5, 6] несколько позже были получены Pao [8] для несовершенного газа. Подход Pao отличается от использованного в работах [3-6]. Его обоснование было дано Гудерлеем [9], а объяснение причины удачи Pao — в статье [10]. В работе [9] приведено также решение задачи в случае вихревых течений, когда плотность и давление представимы в виде произведений функций от энтропии на функции от энтальпии. Определению оптимальной формы сопла с учетом веса его стенок посвящена статья Стернина [11]. Один вариант задачи о наилучшей форме тела вращения рассмотрен Pao [12]. Перечисленные результаты получены на основе необходимых условий экстремума. [c.46]

Отсутствие азимутальной составляющей вектора скорости в рассмотренных вариационных задачах при осевой симметрии является ограничением, которое может, например, снизить силу тяти оптимального сопла. В работах [19, 20] на примере присутствия потенциальной закрутки потока вокруг оси симметрии выведены необходимые условия экстремума и продемонстрировано увеличение силы тяги. Дальнейшие исследования в этом направлении проведены Гудерлеем, Табаком, Брей-тером и Бхутани [21]. Систематическое сравнение оптимальных сопел этого типа выполнено Тилляевой [22]. [c.47]

Аналогичный подход используется для определения такого значения аргумента х, при котором функция у(х ) экстремальна. Если степень превращения в реакторе у экстремально зависит от режимного параметра х, то может стоять задача обеспечения максимальной степени превращения. Необходимое условие экстремума заключается в равенстве нулю производной dyfdx при х = х. Если в уравнении (Vni. 4) заменить функцию у х) ее производной и [c.187]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология