ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Гармонический осциллятор — задача на собственные значения из "Компьютеры Применение в химии" Необходимо найти также значения полной энергии Е (собственные значения), при которых решением дифференциального уравнения будет волновая функция, удовлетворяющая определенным требованиям, вытекающим из физического содержания задачи. Поскольку квадрат волновой функции пропорционален вероятности реализации данного состояния системы, разумно потребовать, чтобы волновая функция при очень больших значениях х стремилась к нулю. [c.247] Найти ответ на задание можно с помощью программы ГАРМ , в которой для решения системы дифференциальных уравнений использована процедура Рунге — Кутта. [c.247] Два дифференциальных уравнения, полученные при преобразовании уравнения Шредингера, заданы в подпрограмме 10000. Переменная ЕС соответствует полной энергии системы, потенциальной энергии соответствует определяемая функция РНУ(Х9) в строке 195. [c.248] ВОЙ ПОСТОЯННОЙ (строка 140). Для расчета колебаний других молекул значения этих параметров надо каждый раз менять. [c.249] Поскольку для гармонического осциллятора потенциал V (рс) симметричен относительно положения равновесия, волновые функции могут быть только двух типов симметричные, т. е. W == О в точке равновесия, и антисимметричные волновые функции, т. е. W = О при равновесном расстоянии между ядрами. [c.249] Решение системы дифференциальных уравнений начинается при равновесном расстоянии. Поэтому в строке 600 принимается А = RG. Вполне достаточно, если наибольшее значение х будет в пять раз больше равновесного расстояния (Е = RG 5). В строке 1000 задано число частичных интервалов для процедуры Рунге — Кутта. [c.249] Чтобы решить эту систему дифференциальных уравнений, необходимо еше знать начальные значения — Yl(l) и 1(2). Начальные значения запрашиваются у пользователя в строках 300 и 400 с помошью оператора INPUT. Введите 1 и О, если вы хотите получить симметричную волновую функцию, или О и 1, если — антисимметричную. (В данной задаче можно не учитьшать постоянную нормировки ) В строке 500 запрашивается значение полной энергии EG. Затем подпрограмма 5000 рассчитывает значение волновой функции при этом значении полной энергии, причем решение ищется в интервале межъядерных расстояний от RG до 5 RG с шагом интегрирования, равным 1/100 этого интервала. В строке 5770 подпрограммы 5000 вызывается подпрограмма для вывода на экран всех промежуточных результатов. [c.249] Правильное значение полной энергии (собственное значение уравнения Шредингера) определяется методом проб и ошибок. Следует отметить, что полная энергия молекул имеет величину порядка 10 эрг. [c.249] Нулевая энергия, таким образом, вычислена с точностью до трех значащих Ш1фр если вы хотите узнать это значение точнее, то поиск можно продолжить. Кроме того, для повыщения точности можно увеличить число частичных интервалов (строка 1(ХХ)). [c.250] С помощью программы ГАРМ рассчитаны четыре первых собственных значения (см. табл.). Полученные результаты иллюстрируют известные положения, что разность энергий соседних уровней постоянна и что нулевая энергия осциллятора составляет половину этой разности. [c.250] Поскольку программа ГАРМ позволяет рассчитать также зависимость значения волновой функции от смещения атомов от равновесного положения, можно изобразить эту зависимость в виде графика на миллиметровой бумаге. Однако следует иметь в виду, что отклонение волновой функции от нуля при больших межъядерных расстояниях связано с приближенным характером численного метода решения уравнения Шредингера. При большой амплитуде колебаний даже небольшое изменение энергии вызывает уход волновой функции в -1-00 Ш1И -оо. При построении графиков эти значения лучше всего не учитывать и считать, что в этих точках волновая функция имеет нулевое значение. [c.250] Задание 145. Найдите с помощью программы ГАРМ другие собственные значения полной энергии гармонического осциллятора. Определите энергию колебательных уровней в двухатомных молекулах по данным, приведенным в таблице. [c.250] Молекула Частота, Ю с Равновесное расстояние, Ю см Приведенная масса, а.ем. [c.250] Задание 146. Попытайтесь автоматизировать поиск собственных значений, который в программе ГАРМ проводится вручную (метод деления отрезка пополам). [c.250] Поскольку потенциал в случае ангармонических колебаний больше не является симметричным, волновые функции также нельзя больше рассматривать как точно симметричные или антисимметричные. [c.251] Следовательно, надо найти не только подходящее значение полной энергии, но и правильное начальное значение производной волновой функции, соответствующее начальному Значению волновой функции при равновесном расстоянии между ядрами. Это влечет за собой значительное увеличение объема вычислений. Кроме того, рекомендуем с самого начала проводить вычисления с более высокой точностью. При поиске собственных значений энергии ангармонического осциллятора используйте в качестве начального приближения результаты, полученные для гармонического осциллятора. [c.251] Вернуться к основной статье