ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Критерии оптимальности и ограничения в экстремальных задачах из "Оптимальное управление процессами химической технологии" В задачах оптимизации переменные делятся на векторы и функции. Если среди составляющих решения имеется функция, то критерий оптимальности является функционалом, зависящим как от векторных, так и от функциональных составляющих. Задачи оптимизации функционалов куда более разнообразны, чем задачи оптимизации функций, так как связи между функциональными составляющими, а также между функциями и векторами могут иметь самую разную форму. Ниже рассмотрены только задачи, в которых искомые функции зависят от одного аргумента. Эти задачи возникают при оптимизации переходных режимов в объектах с сосредоточенными параметрами и статических режимов в объектах с распределенными параметрами. [c.100] Формы оптимизируемых функционалов. Обозначим через t аргумент, от которого зависят функциональные составляющие решения. В качестве t может выступать как временная, так и пространственная координаты. Кроме того, предположим, что диапазон изменения t конечен, для определенности пусть ig [О, Т]. Числовые составляющие решения задач оптимизации функционалов, не зависящие от i, будем называть параметрами и обозначать их через а,- через а — (aj, а ,. . . ) обозначим вектор искомых параметров. [c.100] Критерий оптимальности таких задач может иметь самую разную форму. Перечислим некоторые виды критериев. [c.100] Здесь критерий в явном виде зависит от векторной и функциональной составляющих решения. В частности, может быть тождественно равна —1. В этом случае критерий (П-74) означает минимизацию величины Т (например, времени переходного процесса). [c.101] Во многих задачах зависимость критерия от хода процесса не является непосредственной, а выражается через характеристики процесса в момент его окончания (выходные концентрации, достигнутая степень превращения и пр.). Величина Т не всегда фиксирована. В некоторых задачах она является параметром, т. е. одной из составляющих вектора а. [c.101] Эта формула объединяет критерии (П-74) и (П-75). [c.101] как и выше, считают, что выбирается такое решение, при котором критерий I будет максимальным на множестве допустимых решений D. Однако сам критерий представляет собой значение функции/о, минимальное на отрезке [О, Т]. Такого рода критерий возникает, например, в задачах обеспечения надежности, когда система содержит конечное или бесконечное число элементов, выход из строя любого из которых грозит аварией всей системы. В этом случае нужно максимизировать надежность некоторого элемента, которая по независящим от нас причинам оказалась минимальной. [c.101] При этом требуется только, чтобы при t = Т функция f (, была непрерывна по t. Еще больше возможностей для унифицированной записи критериев оптима-льности дает введение тех или иных условий. Остановимся на этом подробнее. [c.102] Условия, определяющие множество допустимых решений, могут быть представлены в различных формах. [c.102] Для условий вида (И-79) приведенное название не совсем тотао, так как ограничение на периметр некоторой фигуры (условие постоянства периметра) зависит не толкко от самой функции у (t), но и от ее производной. Однако этим термином мы будем пользоваться, не вкладывая в него геометрического смысла. Условия типа (П-79) в форме равенств и неравенств возникают при ограничении ресурсов, затрачиваемых на интервале (О, Т). [c.102] Геометрически условие (П-80) означает, что составляющие решения у, t) могут меняться в пространстве Y, оставаясь на некоторой поверхности, зависящей от параметра а. Если соотношение (П-80) удается разрешить относительно одной из составляющих решения, размерность задачи понижается. К сожалению, сделать это удается далеко не всегда. [c.102] Это ограничение иногда называют условием типа узкого места . В задачах оно чаще всего возникает на концах интервала управления ta = О или io — Г) и означает, что конец траектории системы должен попасть на поверхность, заданную соотношением (П-81). [c.102] Если условие (П-81) можно разрешить, оно позволяет уменьпшть размерность вектора параметров а, но не меняет размерности функциональных составляющих решения. [c.103] Значительное число управляемых объектов обладает тем свойством, что в момент i б 4 их состояние х зависит только от того, каковы были их состояние х в момент I и величина управляющего воздействия и ( ). Объекты такого рода, как правило, характеризуют связями в форме обыкновенных дифференциальных уравнений (П-82). В этих уравнениях а — вектор параметров и (О — управляющие переменные х I) — переменные состояния или фазовые координаты. При заданной функции и (1) изменение состояния объекта определено уравнением (П-82) с точностью до числового параметра. Таким параметром может быть начальное условие или условие, наложенное для некоторого 0 6 10, Т. В общем случае дифференциальное уравнение должно быть дополнено любым условием, позволяющим зафиксировать некоторую точку траектории х 1). [c.103] Объекты, для которых t не входит в правую часть уравнения (П-82) в явном виде, называют стационарными. [c.103] Ограниченная функция к (т, I) называется ядром уравнения. [c.103] Если верхний предел интегрирования равен t, то мы имеем дело с уравнением Вольтерра. [c.104] В котором к t — х) — импульсная характеристика системы, равная нулю при т I функцию и (г) предполагают равной нулю при т С 0. [c.104] Строго говоря, переменные ж Uj следовало бы отнести к составляющим вектора параметров а, так как они представляют собой некоторые числа. Однако специфическая форма зависимости (П-86) позволяет развить специальные методы решения задач со связями в форме рекуррентных соотношений. [c.104] Для определенности все ограничения будем приводить к форме 0. Это легко сделать, меняя (в случае необходимости) знак левой части неравенства, вместо / О можно записать —/ ia 0. [c.104] Вернуться к основной статье