ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Алгоритмы, основанные на необходимых условиях оптимальности из "Оптимальное управление процессами химической технологии" Чтобы найти у, требуется решить систему из N уравнений (III-4), т уравнений (III-6) совместно с п уравнениями связей (III-2) и 2т неравенствами (III-3) и (III-5). Таким образом, система содержит [N т п) уравнений и столько же неизвестных N составляющих вектора г/ п множителей Я и иг множителей S. Решить подобную систему аналитически удается лишь для простейших задач. В реальных задачах ее решают численно. Методы решения систем нелинейных уравнений подробно изложены, например, в работе [9]. Остановимся здесь только на одном подходе, который нашел широкое применение в бесконечномерных задачах. [c.132] Причем Я выбирается из условия стационарности этой функции по г/2- Подобное соотношение справедливо и для обш,ей задачи нелинейного программирования. [c.133] Пусть у — решение задачи нелинейного программирования, удовлетворяющее условиям (III-2) — (III-6), а fl = fo у ) — ее значение. Для простоты записи включим в число связей ограничения, активные в точке у. Так как в невырожденном случае размерность вектора у больше, чем число связей N п), то любые к = N — п составляющих решения можно считать свободными параметрами задачи. Вектор этих параметров с индексом 7 = 1, 2,. . ., к обозначим через у . проварьируем его значения в экстремальной точке у1 и найдем градиент /о по у при условии, что остальные зависимые составляющие у (обозначим их через у ) меняются в соответствии с условиями (II1-2) и ограничениями (III-3). Этот градиент характеризует чувствительность значения задачи к изменению свободных переменных. К числу свободных переменных моншо отнести и параметры, которые не выбирались в процессе решения как оптимальные, а были фиксированы. Требуется узнать, как, например, отразится на fl неточное знание этих параметров. [c.133] Следствие, Если уровень ограничений может меняться, т. е. f может равняться не нулю, а а,-, то чувствительность значения задачи fl к изменению а,- равна —Я. [c.134] Часто уже из физического смысла задачи ясно, в какую сторону изменяется ее значение при изменении функции Из равенства (III-9) следует, что если увеличение /, приводит к увеличению fl, знак множителя Я/ должен быть отрицательным, и наоборот. [c.134] Равенство (1П-8а) позволяет организовать вычисление у, меняя свободные переменные от некоторого начального приближения и вычисляя Уз и множители Лагранжа по уравнениям связи и условиям (Ш-4а). В конце процесса достигается равенство дЕ /ду . = О, выполнены уравнения связи и равенства (1И-4а), то есть условия оптимальности удовлетворены. [c.134] Формальная последовательность действий в алгори1ме исключения зависимых переменных применительно к задаче НП будет приведена ниже. [c.135] как и выше, индекс В показывает, что речь идет о приращениях, вызванных изменениями у 1) и соответствующими им (в силу уравнений связей) приращениями у. . Общая схема поиска та же, что в конечномерной задаче. Поиск прекращается, когда дК1ду ЯК О для всех t. Легко видеть, что в этом случав выполнены необходимые условия оптимальности экстремальной задачи общего вида, сформулированные в теореме П-1. Условия справедливы в слабой форме, в том смысле, что функция В стационарна по всем составляющим решения, а не только по составляющим второй группы. Этого момента мы коснемся несколько ниже. [c.135] Последовательность решения как конечномерной, так и бесконечномерной задач с помощью рассматриваемого алгоритма удобно оформить в виде таблицы (табл. 111,1). [c.136] Сделаем несколько замечаний по приведенному алгоритму. [c.136] При наличии параметров в четвертом шаге алгоритма вычисляют dSlda в точке поиска и делают шаг в направлении найденного таким образом градиента. Поиск по а прекращается, если градиент 5 по а равен нулю или если значение а вышло на ограничение. Отметим, что по а и тем составляющим (i), которые относятся ко второй группе (согласно классификации, приведенной в теореме II. 1), оптимальному решению соответствует точка стационарности S, которая не обязательно является максимумом. [c.136] Замечание 2. Приведенный алгоритм может быть распространен и на условия в форме неравенств. Для тех неравенств, которые строго ВЫП0.Т1НЯЮТСЯ в точке поиска, слагаемые не включаются в JR, а неравенства, выполняющиеся как равенства (активные), учитываются аналогично связям. Трудность здесь состоит в том, что по ходу поиска число свободных составляющих меняется каждый раз, когда строгое неравенство переходит в равенство, и обратно. Второй путь учета неравенств заключается в введении в критерий I добавок, штрафующих за нарушение того или иного неравенства. [c.136] Было бы очень желательно использовать эти особенности бесконечномерных задач в алгоритме поиска. Можно предложить модификацию алгоритма, приведенную в работе [26]. [c.136] Здесь / +1 соответствует величине функционала I для и = = и +1 и остальных переменных, выбранных согласно алгоритму, приведенному в табл. 111,1, и в соответствии с То же относится к Р. [c.138] Таким образом, к условиям задачи добавляется неравенство типа 3 (см. табл. 11,2), а к переменным — параметр z. С учетом замечаний 1 и 2 алгоритм исключения зависимых переменных может быть использован и в этом случае. [c.138] Замечание 6. Наличие условий типа 1 и 2 (см. табл. 11,2) затрудняет решение. Можно, конечно, ввести в функцию В соответствующие этим условиям слагаемые и, зафиксировав множители Лагранжа, применить алгоритм, приведенный в табл. 111,1, а затем провести расчет при измененных множителях Лагранжа в слагаемых, соответствующих условиям типов 1 и 2. И так до тех пор, пока эти условия не будут выполнены на найденном решении. В дальнейшем мы рассмотрим иной путь решения задачи с такими условиями, не требующий итераций но Я-множи-телям. [c.138] В качестве свободных переменных выберем управляющие воздействия Ус = и), а в качестве зависимых — фазовые координаты (г/з = х). Условия (III-15) не будем вводить в функцию Д, так как их легко учесть в процессе поиска. В дальнейшем руководствуемся последовательностью действий, изложенных в табл. 111,1. [c.139] Заметим, что в задаче (111-13) — (III-15) правый конец траектории свободен. Наличие условия F х (Т), Т] = О на правом конце траектории усложняет решение (см. замечание б к таблице 111,1). [c.140] Проверка этого неравенства требует вычисления х t) но уравнениям связей для и (t) = и (t). [c.140] Вернуться к основной статье