ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Поиск оптимума численными методами из "Введение в моделирование химико технологических процессов Издание 2" Численные методы поиска применяют, во-первых, когда в точке экстремума отсутствуют производные. Так, изменение целевой функции может носить дискретный характер, например, при сравнении разных вариантов оформления процесса, когда F меняется не непрерывно, а скачком от одного варианта к другому. Но производные в точке экстремума могут отсутствовать и у непрерывной функции. Чаще всего это бывает, если экстремум расположен на краю области допустимых значений. На рис. 23.1 максимум лежит на краю области, в этой точке производная отсутствует. Имеется производная слева , но она не равна нулю. [c.261] Часто бывает и так, что целевая функция в точке экстремума дифференцируема, но задана она таким образом, что продифференцировать ее в общем виде не удается, вследствие чего приходится обращаться к численным методам. Это обычно связано с тем, что функция задана не формулой, а алгоритмом вычисления при заданных значениях аргументов (факторов). Если бы не было и алгоритма, функция была бы невычислимой и следовало бы применить экспериментальную оптимизацию (раздел 26). [c.261] Наконец, иногда имеется принципиальная возможность записать и решить систему (24.1), но соответствующие вычисления столь громоздки, что численный метод оказывается проще. [c.261] Оптимизация перебором применяется, если число возможных вариантов конечно. Тогда достаточно рассчитать целевую функцию для всех этих вариантов и выбрать наибольшее (или наименьшее) значение. Например, мы можем рассчитать Р для случаев протекания процесса в аппаратах всех стандартизованных размеров и выбрать лучший вариант. [c.262] Перебор легко осуществляется на ЭВМ, причем все варианты (например, нормали) могут быть заранее записаны в памяти машины. Несмотря на крайнюю простоту метода, он часто оказывается чрезвычайно эффективным, поскольку возможности перебора для машины несоизмеримо выше, чем для человека. Применение перебора позволяет найти такие варианты, до которых без нее дойти практические невозможно. [c.262] Сканирование — метод, близкий к перебору, но применяемый к непрерывным функциям. [c.262] Рассмотрим для примера одномерное сканирование — случай, когда ищем максимум функции от одного фактора (как мы уже говорили, поиск минимума осуществляется точно так же). Будем считать, что мы задались пределами изменения фактора л от а до Ь. Здесь а я Ь — ограничения, которые можно установить в любой реальной задаче никогда не бывает так, что мы может задать любые, ничем не ограниченные значения х. [c.262] Таким образом, вначале мы знаем следующее. Имеется интервал [а, Ь], на котором мы хотим отыскать экстремум целевой функции его называют интервал неопределенности. [c.262] При этом практически нам не нужно определить точку экстремума абсолютно точно. Достаточно сильно сузить интервал неопределенности. Например, если мы узнаем, что оптимальная температура, соответствующая максимуму целевой функции, заключена в пределах от 380 К до 381 К, то большая точность не нужна. В промышленных условиях вряд ли удастся регулировать температуру с точностью выше 1 К. Нас устраивает интервал неопределенности [380, 381], и дальнейшее его сужение смысла не имеет. [c.262] в одномерном случае задача поиска экстремума сводится к сужению интервала неопределенности. Методом сканирования эта задача решается так. [c.262] Выберем целое число q — число значений целевой функции, которое придется рассчитывать. [c.262] Отложим от точки а до точки Ь интервалы Ад (рис. 25.1). Концы каждого интервала назовем узлами на рис. 25.1 каждый узел обозначен крестиком. [c.262] Формула (25.2) определяет эффективность метода. При сканировании для достижения достаточно малого б величина д должна быть велика. Метод малоэффективен. Но он удобен для первоначального исследования функции, поскольку дает возможность представить ее вид на всем отрезке, установить число экстремумов и их локализацию. [c.263] Сканированием можно исследовать и функции более чем одного фактора. Так, участок на плоскости (факторное пространство для двух факторов) можно покрыть сетью узлов и таким образом исследовать поведение функции на этом участке. В принципе это возможно в любом -мерном пространстве, но по мере роста к резко растет число необходимых расчетов и падает эффективность метода. [c.263] Другие методы поиска более эффективны, но не обладают той универсальностью, которой отличается сканирование. Их эффективность связана с тем, что это — методы направленного поиска, в которых не просто исследуется область факторного пространства, но происходит продвижение в этом пространстве в сторону искомого экстремума. Но направленность поиска требует соблюдения некоторых условий, ограничивающих применимость методов. [c.263] Прежде всего, направленный поиск дает надежный результат, если функция унимодальна. Наиболее просто (хотя и не вполне строго) унимодальную функцию можно определить так. В допустимой области она имеет только один экстремум нужного знака (один максимум, если ищем максимум, один минимум в противоположном случае). Например, на рис. 25.2 функция 1 унимодальна. Функция 2 унимодальна, если ищем максимум, и неунимодальна при поиске минимума (два минимума — при х—а и при х=Ь). Функция 3 неунимодальна. [c.263] Методы направленного поиска способны привести в точку одного из экстремумов, но не позволяют установить, единственный ли это экстремум, а если известно, что не единственный, то в какой экстремум мы попали глобальный (экстремальный для всей области) или локальный (другие точки могут оказаться выше в случае максимума или ниже для минимума). Если при решении задачи оптимизации появится подозрение, что мы встретились с неунимодальностью, следует грубо исследовать функцию сканированием и выделить область глобального экстремума. [c.264] Еще одно важное свойство функции Р, учитываемое при выборе метода поиска, — это число факторов. Здесь различаются два ос-новых случая. Первый, когда Р зависит только от одного фактора, Р = Р х) тогда говорят об одномерном поиске. Второй, когда факторов больше одного — многомерный поиск. Причем почти все методы многомерного поиска принципиально применимы при любом числе факторов А 1, тогда как при к—1 применяются иные, одномерные методы. Лишь немногие методы, как например, сканирование, применимы и в одномерном, и в многомерном случаях. [c.264] Кратко рассмотрим два метода одномерного поиска и три — многомерного. [c.264] Дихотомия. Как и при описании сканирования, рассмотрим поиск максимума на отрезке [а, Ь], показанном на рис. 25.3. Разделим отрезок пополам — точка л (левая) на рисунке. Рассчитаем значение Р = Р л) в этой точке. Пока мы еще ничего не можем сказать об экстремуме, кроме того, что он принадлежит нашему отрезку. [c.264] Вернуться к основной статье