ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Приложение. Метод наименьших квадратов из "Введение в моделирование химико технологических процессов " Необходимо описать экспериментальные данные уравнением. Вид уравнения известен, нужно определить входящие в него коэффициенты. Эта задача возникает и при построении детерминированных математических моделей, когда, например, по опытным данным расчитывают энергию активации и предэкспоненту уравнения Аррениуса, и при расчете эмпирических уравнений на основе стохастического подхода. [c.204] На основе элементарной математики эта задача решается только в одном случае если точек всего две. Через две точки всегда можно провести прямую, и притом только одну, а через 6 точек (см. график) прямую провести нельзя. [c.204] Точно так же через три точки можно провести параболу 2-го порядка, и притом только одну. И вообще, за редкими исключениями так называемых случаев вырождения, п опытных точек можно точно и однозначно описать эмпирической формулой, содержащей п коэффициентов. Но во всех этих случаях нельзя сказать, хорошо ли мы угадали, сильно ли искажена зависимость из-за ошибок опыта. [c.205] Разумеется, если мы заранее знаем, что ошибка опыта мала, можно ограничиться и таким минимальным числом опытов. Но чаще желательно иметь избыток опытов сверх минимально необходимого их числа. Этот избыток носит в математической статистике название число степеней свободы. Наличие степеней свободы позволяет оценить разброс опытных данных относительно расчетных — такая оценка, как правило, бывает необходима. [c.205] Наличие степеней свободы полезно — оно позволяет оценить точность. Но при этом необходимо сформулировать задачу в терминах оптимизации. [c.205] Здесь все отклонения берутся по абсолютной величине компенса-сация невозможна. Аппроксимация на основе критерия (34.5) дает уже вполне разумные результаты. Но считать при этом очень неудобно. [c.206] Как известно, нахождение минимума связано с диффэренциро-ванием, а продифференцировать сумму (34.5) не всегда возможно. [c.206] Такой вид аппроксимации называется методом наименьших квадратов. Этот метод чрезвычайно широко применяется в практике обработки опытных данных. Кроме приведенных положительных сторон он обладает еще одним важным свойством — связью с нормальным законом распределения случайных ошибок. Этот вопрос достаточно широко освещен в литературе по статистике. [c.207] В теории метода наименьших квадратов уравнения (34.13) называют нормальными уравнениями. [c.208] наилучшее уравнение прямой у — —1,3 + 1,6 д . [c.209] Обратим внимание на важную особенность. Мы уже говорили о том, что при выводе нормальных уравнений опытные величины х и у выступают как постоянные. Поэтому сложность формул для расчета методом наименьших квадратов определяется не тем, какие переменные или какие функции от переменных входят в уравнения, а тем, в какой форме входят в них коэффициенты. [c.209] Системы (34.15) и (34.16) очень похожи по структуре, отличаясь лишь входящими в них суммами. [c.209] Вывод приведенных уравнений очень прост рекомендуем читателю провести его самостоятельно. [c.209] Если же коэффициенты входят в уравнения нелинейно, то нормальные уравнения будут весьма сложными каждый такой расчет окажется трудной математической задачей. Так, например, рассчитать коэффициенты к формуле у = а s n х + Ь os л легко, поскольку а я Ь входят в нее линейно, а коэффициенты к формуле г/ = sin ах - - os Ьх — чрезвычайно трудно, так как они находятся под знаком sin и os. [c.210] Поэтому метод наименьших квадратов наиболее хорошо применять к уравнениям, линейным относительно коэффициентов. Правда, иногда исходное уравнение можно преобразовать в более удобный вид. [c.210] Заметим, что результат расчета будет иным, чем тот, который мы получили бы, применив метод наименьших квадратов без логарифмирования. Законность подобных преобразований каждый раз требует проверки. К счастью, в случае уравнения Аррениуса правильнее обрабатывать данные после логарифмирования. [c.210] Адекватность уравнений. При эмпирическом подходе очень важен вопрос об адекватности полученных уравнений, т. е. о том, насколько правильно данное уравнение описывает опытный материал, не нужно ли его усложнить. Подобная задача встает и при детерминистическом подходе, когда проверяется правильность модели. [c.210] Разброс параллельных опытов оценивают дисперсией воспроизводимости 5в пр- в этом случае отклонения относят к среднему значению измеряемой величины. А число степеней свободы будет на единицу меньше числа опытов т. [c.211] Формула / = /п — 1 объясняется в данном случае так же, как и формула для f при описании уравнениями единица — наименьшее число опытов, необходимое для того, чтобы составить представление о среднем значении определяемой величины. [c.211] Для проверки адекватности рассчиты- Рис. 34.3. Прямая и пара-вают дисперсионное отношение Р бола, проведенные по точкам. [c.211] Вернуться к основной статье