ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Нелинейное программирование из "Методы оптимизации в химической технологии" В практике химических производств встречаются случаи, когда при получении какого-либо вида продукции исходное сырье используется не полностью, а остается в отходах, откуда его можно затем выделить и снова направить в производство. Кроме того, в процессе получения определенного целевого п[)одукта могут образовываться побочные продукты, представляющие самостоятельную ценность или же применяемые как сырье в других процессах. Все это приводит к необходимости совместного изучения ряда процессов, для чего могут быть использованы методы линейного программирования. [c.470] В качестве примера опишем производство, состоящее из нескольких процессов, в котором применяется несколько видов сырья для получения ряда продуктов. Предположим, что в это производство входят три процесса (табл. 12), для двух из которых основными являются два вида сырья Л и В. В первом процессе наряду с основным продуктом образуется побочный продукт С, используемый во втором процессе. Кроме того, в первом процессе применяется некоторое количество отходов О второго процесса, которые служат к тому же исходным сырьем третьего процесса, выполняющего роль процесса регенерации или выделения сырьевых продуктов А, В и С из отходов О. [c.470] В табл. 12 приведены количества различных видов сырья, требуемые для получения единицы основной продукции каждого из процессов. [c.470] Отрицательные коэффициенты в строках таблицы указывают па то, что этот вид сырья — побочный продукт в данном процессе. нижней строке табл. 12 приведены запасы сырья в момент планирования производства. [c.470] Предположим, что задачей планирования является выбор такого режима работы отдельных процессов, при котором обеспечивается максимальная прибыль от реализации готовой продукции, получаемой при переработке имеющихся запасов сырья. При этом основная продукция каждого процесса имеет определенную стоимость (табл. 13). [c.471] Вид продукции Стоимость, уел. ед. [c.471] Поясним физическую сущность двойственной задачи. Поскольку размерность правых частей ограничений (УП 1,288) имеет смысл стоимости единицы продукции, очевидно, что размерность переменных VI двойственной задачи также должна представлять собой стоимость и может рассматриваться как стоимость каждого вида сырья. П[ 1И этом левые части неравенства ( ЧП,288) характеризуют суммарные затраты на различные виды сырья при производстве единицы каждого продукта. [c.472] С учетом того, что критерий оптимальиосги двойственной задачи (УП1,287) в данном случае определяет общую стоимость запасов сырья, цены которых являются независимыми переменными двойственной задачи, для нее может быть принята следующая формулировка. [c.472] Соотношение (УП 1,229), описьпзающее связь между максимальным значением критерия оптимальности исходной задачи и минимальным значением критерия двойственной, в этом случае означает, что при оптимальном плане производства, т. е. оптимальных значениях XI, и при оптимальных ценах на сырье, т. е. оптимальных значениях VI, максимальная прибыль от реализации п[)0дукцпи равна стоимости сырья, имеющегося в наличии к моменту начала выпуска продукции. [c.472] Дополнительные переменные в системе ограничений (УП1,289) образуют единичную подматрицу, которая может использоваться в качестве начального базиса. [c.472] Теперь воспользуемся алгоритмом симплексного метода для отыскания оптимального плана производства. [c.473] Все маргинальные значения (VI 11,295) отрицательны, и следовательно, возможно увеличение критерия оптимальности при переходе к новому базису. [c.474] На ЭТОМ первый шаг симплексного метода заканчивается и начинается следующий. [c.475] Переходим к третьему шагу симплексного метода. [c.477] Найденный план означает, что для наиболее выгодной реализации наличных запасов сырья следует использовать только второй и третий процессы, несмотря на то что продукция первого процесса имеет наивысшую стоимость (с == 7). [c.478] Значения дополнительных переменных Я,- (/ = 4, 5, 6, 7) в оптимальном плане (VIII,316) определяют остающиеся количества сырья после того, как производство прекращается из-за недостатка какого-либо вида сырья. В рассмотренном случае имеется остаток основного сырья А в количестве 12 единиц, т. е. его количество увеличивается по сравнению с исходными запасами вследствие проведения третьего процесса. Аналогично увеличивается и количество сырья С. Израсходованными в процессе производства оказываются только запасы двух видов сырья (В и О), что в данном случае и ограничивает максимально достижимую прибыль от реализации получаемой продукции. [c.478] Непосредственной проверкой можно убедиться, что минимальное значение критерия оптимальности двойственной задачи (VIII,287), определяемое с учетом ее решения ( 111,319), в точности равно максимальному значению критерия оптимальности исходной задачи ( 111,318). [c.478] При анализе возможности решения задачи оптимизации с критерием (IX, 1) имеет смысл рассматривать два варианта. Это, во-нер-вых, когда соотношения (IX, 1) и (IX,2) заданы в аналитической форме, и, во-вторых, если хотя бы некоторые из них нельзя выразить явными аналитическими зависимостями от переменных Х/. [c.480] Для случая, когда аналитический вид соотношений (IX, 1) и (IX,2) известен и не слишком сложен и если, в особенности, число независимых переменных п невелико, всегда можно с большим или меньшим успехом использовать для решения оптимальной задачи аналитические методы, ио крайней мере, для того, чтобы свести ее решение к решению системы конечных уравнении. Примеры решения подобных задач уже приводились (см. главы III и IV). Кроме того, вьиие также был описан весьма важный класс задач, когда соотношения (IX, 1) и (IX,2) являются линейными, для решения которых применяется математический аппарат линейного программирования (см. главу VIII). [c.480] Вернуться к основной статье