ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Основная теорема теории пределов из "Абстракция в математике и физике" Понятие предела числовой последовательности является весьма тонким. Хотим еще раз напомнить, что это одно из основополагающих понятий математики, а значит, и всего современного естествознания. Мы не будем предполагать, что оно знакомо читателю, и дадим его определение. С этой целью предварительно введем два более простые понятия окрестность числа и почти вся последовательность . Определяя первое из них, мы используем теорию Дедекинда. [c.35] Пусть а — произвольное действительное число, а и 6 — два произвольные рациональные числа, взятые из нижнего и верхнего классов числа а. соответственно. Совокупность всех действительных чисел, больших а и в то же время меньших 6, называется окрестностью числа а (рис. 4.3). Принято говорить, что все эти числа леэюат в окрестности (а, 6). Поскольку числа а и Ь произвольны, у всякого числа а существует бесконечное множество окрестностей. [c.35] Договоримся понимать под числовой последовательностью любую пронумерованную совокупность чисел. Условимся говорить, что почти все члены данной последовательности лежат в данной окрестности, если отбрасывая достаточно большое, но конечное число ее первых членов, можно получить последовательность, все члены которой лежат в указанной окрестности (рис. 4.4). [c.35] Определение. Число а является пределом данной последовательности чисел, если, какова бы ни была окрестность а, Ь) числа а, почти все члены последовательности лежат в этой окрестности. [c.36] Сама последовательность в этом случае называется сходящейся. [c.36] Заметим, что в силу данного определения предел последовательности можно с любой степенью точности приближенно заменить одним из ее членов, если номер этого члена достаточно велик. В этом смысле можно сказать, что решение задачи найдено, если найдена последовательность, предел которой является искомым решением. Сам предел вычислять не обязательно, даже если он равен какому-либо знакомому числу, например двум или у/2. [c.36] Основная теорема теории пределов состоит в следующем. [c.36] Теорема. Всякая ограниченная монотонно возрастающая бесконечная последовательность действительных чисел имеет предел. [c.36] Условия теоремы означают, что все члены последовательности меньше некоторого числа М, а каждое последующее входящее в нее число не меньше предыдущего. [c.36] Докажем эту теорему. Мы имеем дело с теоремой существования, в данном случае — существования предела последовательности. Как многие доказательства подобных теорем, оно состоит из двух частей. Первая часть — конструкция. Мы построим число, являющееся, как выяснится во второй части, тем самым пределом, существование которого требуется доказать. [c.36] конструкция. Разобьем все рациональные числа на два класса. К первому классу отнесем все числа, которые больше всех членов рассматриваемой последовательности, ко второму — все остальные рациональные числа. Если среди чисел первого класса нет наименьшего, а среди чисел второго класса нет наибольшего, мы получаем разрез. Обозначим через а действительное число, которое определяется этим разрезом. Если же в первом классе есть наименьшее число, обозначим его а. Аналогично поступим, если во втором классе есть наибольшее число. Конструкция закончена остается доказать, что построенное число является пределом. [c.36] Хотелось бы обратить внимание читателя на изящество доказательства никаких преобразований, никаких сложных логических умозаключений. Все сделано как бы в белых перчатках. [c.37] Вернуться к основной статье