ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Эволюция понятия функции из "Абстракция в математике и физике" Затем появились дробные степени, показательные функции, логарифм и тригонометрические функции. [c.60] В отличие от полинома, который является одновременно и обозначением функции и одним из алгоритмов ее вычисления, обозначения функций второго эшелона не содержат ни их определения, ни способа их вычисления, то есть алгоритма. Например, 81пж — это только обозначение. По определению синуса это отношение катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла ж, к гипотенузе. Одним из алгоритмов служит таблица синусов. То же можно сказать и о других функциях второго эшелона. [c.60] Определение. Пусть задана некоторая совокупность значений величины X. Обозначим ее буквой X. Пусть каждому х из этой совокупности сопоставлено (отнесено, отвечает, соответствует) некоторое число у. Соответствие х переходит в у и называют функцией. Совокупность X называют областью определения функции, совокупность соответствующих значений у — областью ее значений. [c.61] Теперь можно оторваться от чисел хну. Пусть X — совокупность элементов любой природы, например совокупность всех полиномов Р х). Если каждому элементу из X сопоставлен некоторый элемент у из некоторой, вообще говоря, другой совокупности У, то и такое соответствие называют функцией. При этом элемент у называется значением функции на элементе х. [c.61] Это очень широкое обобщение первоначального понятия функции. Возможно, максимально широкое. Приведем простой пример — векторное произведение двух векторов. Эта функция определена на совокупности всевозможных пар векторов, а ее область значений — совокупность всех векторов. [c.61] Мы получили абстрактное определение функции. Оно не перечисляет все мыслимые функции вместо этого оно фиксирует определяющее свойство этого понятия, а именно соответствие между элементами двух множеств. Заметим еще, что в тех случаях, когда значением функции служит число, а область ее определения не совпадает с некоторой совокупностью чисел, то функцию принято называть функционалом. Например, если каждому многоугольнику сопоставлена его площадь, то мы имеем дело с функционалом, область определения которого есть совокупность всех плоских замкнутых многоугольников. Часто употребляемыми функционалами являются среднее, минимальное и максимальное значения рассматриваемой функции. Так, для функции sin X на интервале (О, 2тг) эти числа равны нулю, минус и плюс единице. [c.61] Главы 21 и 22 будут посвящены операторам. [c.62] Расширим понятие алгоритма. Алгоритм это не только один из способов вычислить функцию, это еще и один из способов решить ту или иную задачу. Если Вы не знаете алгоритма решения интересующей Вас задачи и не можете его найти, то, естественно, задача останется нерешенной. Любопытно, что конкретный алгоритм решает, как правило, не одну задачу, а некоторый класс задач. Так, решение всех квадратных уравнений может быть получено с помощью одного и того же алгоритма. Принято классифицировать задачи по алгоритмам, дающим их решения. [c.62] Очень важно понимать, что как задачи, так и алгоритмы имеют иерархическую структуру. Поясним с помощью примера, что мы имеем в виду. Решение дифференциального уравнения часто удается получить в виде интеграла или ряда. Затем возникает задача вычисления полученного интеграла (или ряда). Ее решение может иметь вид формулы или итерационного процесса. Для получения окончательного результата — числа, таблицы, графика или программы для компьютера — требуется ручной или машинный счет или программирование. В рассматриваемом примере участвуют задачи трех разных уровней. Верхний уровень — решение дифференциального уравнения. Следующий уровень — вычисление интеграла или ряда. Самый нижний уровень в этом примере — получение численных результатов. Можно надстроить еще один уровень — сведение физической (лучше сказать, прикладной) задачи к дифференциальному уравнению. [c.62] Как обучение математике, так и реальная организация процесса исследования строятся с учетом иерархии задач. В чем это выражается Теория дифференциальных уравнений умывает руки , как только ей удалось свести исследование уравнения к какой-либо задаче менее высокого уровня. Аналогично поступают теории интегралов, рядов и приближенных вычислений. Подобная спихотехника характерна для всех математических дисциплин. Она позволяет учащимся изучать новый материал и знакомиться с новыми алгоритмами без бесконечных повторений пройденного ранее материала. Как сказывается иерархия задач на работе, скажем, физика-теоретика Вначале он только теорфизик. Потом он переодевает халат и становится специалистом по дифференциальным уравнениям. Под конец его можно увидеть в халате программиста или дружески с программистом беседующим. Разумеется, на всех стадиях он остается физиком, который не выпускает из-под контроля весь процесс исследования. [c.62] Соответственно строится и система алгоритмов. Каждый алгоритм сводит рассматриваемую задачу к одной или нескольким задачам менее высокого уровня, после чего уступает место своим младшим братьям . Если этого не понимать, то любая математическая теория будет казаться оторванной от жизни, поскольку сама по себе она не дает окончательного численного результата. Исключением является, пожалуй, только элементарная арифметика. [c.63] Если читатель заметит, что описанная схема относится практически ко всем видам человеческой деятельности, он поймет, насколько тривиальным, а значит, и справедливым, является все сказанное об иерархии алгоритмов и задач. [c.63] Вернуться к основной статье