ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Второе свойство. Ряды Тейлора из "Абстракция в математике и физике" Среди дифференцируемых функций вещественной переменной принято выделять классы дважды дифференцируемых, трижды дифференцируемых и т. д. вплоть до класса бесконечно дифференцируемых функций. Последний особенно почетен, поскольку каждой функции этого класса можно сопоставить степенной ряд (так называемый ряд Тейлора). Коэффициенты ряда Тейлора выражаются через производные исходной функции. Однако далеко не всегда этот ряд сходится и не всегда его сумма равна этой функции. Самый аристократический класс составляют функции, которые равны сумме своего ряда Тейлора (Брук Тейлор, 1685-1731). [c.69] В царстве аналитических функций все по-другому, демократичней если функция / г) дифференцируема хотя бы один раз, она дифференцируема сколько угодно раз. Более того, она раскладывается в ряд Тейлора Это замечательное утверждение является одним из краеугольных камней теории аналитических функций. [c.70] Член этого ряда с номером п пропорционален степени [г — о) , где 0 — любая точка из области определения функции / г). Выбирая различные точки го, можно получить для одной и той же функции сколько угодно различных рядов Тейлора. В теории аналитических функций доказывается, что область комплексной плоскости, в которой ряд Тейлора сходится, представляет собой внутренность круга с центром в точке го- Этот круг называется кругом сходимости. Лишь внутри него функцию /(г) можно заменить рядом Тейлора. С другой стороны, этот ряд и нужен только для замены функции / г). Поэтому очень важно уметь вычислять радиус круга сходимости. [c.70] В вещественной области роль круга сходимости играет интервал, во всех точках которого ряд Тейлора сходится. Этот интервал называется областью сходимости. Найти область сходимости — непростая задача. Мало того, что нужно вычислить все производные рассматриваемой функции, привлечь подходящий признак сходимости степенных рядов, нужно еще проверить, что сумма равна исходной функции В комплексной области эта же задача решается до смешного просто. Радиус круга сходимости равен расстоянию от точки го до ближайшей точки, в которой функция не имеет производной. Покажем, как это делается. Пусть, например, / г) = 1/(1 + 2 ) и = 2, а п — любое целое положительное число. Выбранная функция аналитична во всех точках комплексной плоскости за исключением двух точек, 2 = г, в которых знаменатель обращается в нуль. Они и составляют границу области аналитичности (последняя представляет собой всю комплексную плоскость с двумя выколотыми точками). Интересующий нас радиус круга сходимости равен расстоянию от точки го до любой из точек г, то есть корню квадратному из пяти. Если нас интересует только область сходимости ряда Тейлора, то она представляет собой тот интервал вещественной оси, который размещается внутри круга сходимости. В рассматриваемом случае это интервал, заключенный между точками 2 — /5 и 2 + у/Ь. [c.70] Вернуться к основной статье