ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Принцип нечетности из "Устойчивость режимов работы химических реакторов" Фазовую плоскость системы, описываемой двумя дифференциальными уравнениями (111,1), можно трактовать как векторное поле, каждой точке которого соответствует вектор, совпадающий по направлению с касательной к фазовой траектории, проходящей через эту точку. [c.61] Рассмотрим расположенную в этом векторном поле простую замкнутую кривую N (рис. III-5), не проходящую через положения равновесия системы (III, 1). Проследим, как будет поворачиваться вектор, соответствующий какой-либо точке S кривой N, при движении точки по этой кривой. [c.61] И вернется на прежнее место, вектор повернется на угол 2л /, где / — целое число, не зависящее от формы кривой N. Если направление вращения вектора совпадает с направлением обхода, / считается положительным, в противном случае — отрицательным. [c.61] Число / называется индексом замкнутой кривой по отношению к рассматриваемому векторному полю. [c.61] Если внутри кривой расположено одно положение равновесия, то индекс определяется топологическим характером этой особой точки и называется индексом Пуанкаре данного положения равновесия. [c.61] Рассматривая рис. П1-6, можно убедиться, что индекс Пуанкаре для узла (рис. 1П-6, а) и для фокуса (рис. 111-6,6) равен 4-1 для седла (рис. П1-6, в) индекс равен —1. [c.61] Из этих -утверждений вытекают фундаментальные следствия, которые можно рассматривать как законы совместного существования замкнутых траекторий и положений равновесия. [c.62] Следствие I. Внутри замкнутой фазовой траектории находится по крайней мере одно положение равновесия, так как индекс такой траектории равен -1-1, а индекс замкнутой кривой, внутри которой нет положений равновесия, равен нулю. [c.62] Следствие 2. Если внутри замкнутой фазовой траектории находится одно положение равновесия, то оно не может быть седлом. [c.62] Следствие 3. Если внутри замкнутой фазовой траектории находятся только простые положения равновесия, то их число всегда нечетное, причем число седел на единицу меньше числа узлов и фокусов. [c.62] Из того факта, что для цикла без контакта /=-н1, ясно, что следствия 1, 2, 3 относятся не только к замкнутым фазовым траекториям, но и к циклам без контакта. [c.62] Применим полученные с помощью индексов Пуанкаре выводы и следствия из них к математическим моделям химических реакторов непрерывного действия, что позволит получить полезные результаты, касающиеся числа стационарных состояний. [c.62] Так как физический смысл имеют лишь положительные значения X и у, то рассматривается только 1-я четверть фазовой плоскости, что в дальнейшем уже не будет оговариваться. [c.63] Докажем, что на фазовой плоскости обобщенной модели реактора непрерывного действия при определенных ограничениях, налагаемых на функции /(д , у) и ф(х, у), можно построить цикл без контакта, охватывающий все положения равновесия. [c.63] Из условий 3) и 5) видно, что это уравнение имеет по крайней мере один корень. [c.64] Докажем теперь, что все положения равновесия системы (И1, 9) заключёны внутри прямоугольника без контакта. Для этого вспомним, что положения равновесия являются точками пересечения главных изоклин, т. е. кривых Р х, у)=0 и Q(x,y)=0. Доказательство сводится к установлению того факта, что вне прямоугольника без контакта хотя бы одна из функций Р и Q отлична от нуля. [c.64] Справа от прямоугольника, т. е. при х Хо Р(х, у) 0. [c.64] Под прямоугольником, т. е. при у Уо Q(x, г/) 0. [c.64] Осталось установить, что над прямоугольником в области, определяемой неравенствами x Xq, г/ г/макс и заштрихованной на рис. И1-7, (л , г/) 7 0. [c.64] Вернуться к основной статье