ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Определение области асимптотической устойчивости из "Устойчивость режимов работы химических реакторов" Существует много различных способов построения функции Ляпунова, но все они, к сожалению, носят характер индивидуального пошива . Применимость каждого способа ограничена определенным типом или классом уравнений. В ряде случаев процедура нахождения функции Ляпунова оказывается очень сложной, требующей большой выдумки и фантазии. [c.160] Рассмотрим часто используемый прием построения функций Ляпунова в виде квадратичных форм. [c.160] Если при этом все коэффициенты X,- будут отличны от нуля и иметь один и тот же знак, то функция V будет знакоопределённой. Если хотя бы один из коэффициентов X,- равен нулю, то функция будет только знакопостоянной. [c.160] Условия, при которых квадратичная форма (V, 3) является положительно определенной, устанавливаются критерием Сильвестра. [c.160] Критерий Сильвестра позволяет легко вывести условия, при которых квадратичная форма (V, 3) является отрицательно определенной для этого необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров ее дискриминанта чередовались, причем первый, т. е. Ьц, должен быть отрицательным. [c.160] Ляпуновым был предложен следующий способ использования квадратичных форм для построения функций V. Исследуемая система линеаризуется, а функция V задается в виде квадратичной формы (V, 3) с неопределенными коэффициентами. Затем коэффициенты функции V определяются из условия, что эта функция и ее производная будут знакоопределенными функциями противоположных знаков. [c.161] Матрица С выбирается симметрической и положительно определенной. [c.161] Пользуясь выражениями (V, 7), можно построить функцию Ляпунова для линеаризованной системы, которая будет удовлетворять требованиям теорем Ляпунова в некоторой окрестности положения равновесия исходной нелинейной системы. Эта процедура построения функции Ляпунова будет использована ниже при исследовании устойчивости изотермического реактора. [c.161] Рассмотрим обратимую реакцию типа 2Хч=ьУ, протекающую в изотермическом реакторе непрерывного действия. Математичес-куф модель такого реактора, полученную в главе II, представляют уравнения (II, 13), т, е. [c.162] Попытаемся оценить область гарантированной асимптотической устойчивости путем построения функции Ляпунова. Для этого, опираясь на работу Вардена, Ариса и Амундсона [13], будем строить функции Ляпунова по линеаризованным уравнениям. [c.162] В главе III было показано, что стационарное состояние системы (V, 8) устойчиво при всех допустимых значениях параметров, а следовательно, и при выбранных нами значениях а и А. [c.162] Для построения функции Ляпунова необходимо прежде всего задаться симметрической положительно определенной матрицей С, чтобы затем пз уравнения (V, 6) найти матрицу В. [c.163] Подставляя =—5, т) = 0 в функцию Ляпунова, найдем ее значение в этой точке, которое мы обозначим через Ум- Оно будет равно 15/2. [c.163] Следует заметить, что область гарантированной асимптотической устойчивости зависит от выбора матрицы С. [c.164] Вернуться к основной статье