Определение области асимптотической устойчивости

Из четырех условий (IV. П), которые подтверждают, что выбранная V является функцией Ляпунова, точность третьего условия (IV, Пв) обычно очень трудно доказать. Для некоторых задач V (х) будет отрицательно-определенной в некотором диапазоне х, но не для всех значений х. Это является доказательством устойчивости в малом, если стационарное состояние находится внутри приемлемой области, определенной условием и (х) < О, но не на границе этой области. Указанное ограничение, накладываемое на V, может служить также для определения области асимптотической устойчивости, но достаточно ли велика будет эта область для инженерных целей, зависит исключительно от физической сущности задачи и численных значений используемых при этом величин. [c.92]

V (х) будет отрицательно-определенной в некотором диапазоне х, но не для всех значений х. Это является доказательством устойчивости в малом, если стационарное состояние находится внутри приемлемой области, определенной условием V (х) < О, но не на границе этой области. Указанное ограничение, накладываемое на с, может служить также для определения области асимптотической устойчивости, но достаточно ли велика будет эта область для инженерных целей, зависит исключительно от физической сущности задачи и численных значений используемых при этом величин. [c.92]

Любая и-окружность, полностью помещающаяся в области у < О, будет областью асимптотической устойчивости, а наибольшая область асимптотической устойчивости находится как окружность, расположенная касательно к кривой у = 0. Точки касания имеют координаты х, = 1,86 и Ха = +0,95 для окружности радиусом 2,09. Важно отметить, что любая область за пределами этой окружности не может быть определенно частью области асимптотической устойчивости, хотя траектории в подобной области могут двигаться в направлении уменьшающейся у. Пока еще нет уверенности в том, что ни одна из траекторий не попадет в запрещенную область у>0. Читатель должен убедиться, что траектория, начинающаяся в точке А на рис. У-2, например, могла бы двигаться к меньшим у-окружностям и даже войти в область у> 0. Если бы это произошло, то траектория начала бы двигаться от начала координат, удаляясь от него как угодно далеко. [c.93]

В первом разделе этой главы со ссылкой на рис. -1 отмечалось, что установление единственности и устойчивости в малом стационарного состояния еще не обеспечивает необходимой формы траектории. То же можно сказать об области асимптотической устойчивости, поскольку установление ее существования еще не обеспечивает возможности численного расчета. Действительно, система с областью асимптотической устойчивости может быть практически бесполезной, если ее траектории выходят за допустимые пределы, в то время как неустойчивая в малом система может удовлетворять инженерным требованиям, если ее траектории остаются внутри допустимой области. С этой точки зрения требуется новое определение устойчивости, которое полностью отвечало бы практическим целям расчета. [c.102]

Решение. Области асимптотической устойчивости данной системы уже были найдены. Внутри любой такой области находится семейство концентрических контуров. Если соответствующая функция Ляпунова считается нормой, любая пара этих концентрических контуров может быть связана с определением (V, 33). Остается только рещить вопрос о практических размерах области. Например, по рис. У-З, У-4 или У-7—У-10 система практически устойчива, если никакие возмущения не приводят к превышению границы области асимптотической устойчивости и любая траектория в такой области приемлема. [c.103]

Назовем полученную область объединением устойчивости или, когда это необходимо, объединением асимптотической устойчивости. Можно ожидать, что объединение асимптотической устойчивости будет строго определено, если соответствующая область асимптотической устойчивости основана на анализе Ляпунова. Однако для определения ограниченной области в пространстве х (г) могут быть использованы и другие методы. Характерные особенности отображения, связывающего область асимптотической устойчивости и объединение асимптотической устойчивости, не зависят от метода, который используется при нахождении объединения асимптотической устойчивости. Необходимо, однако, соблюдать осторожность, так как неявно предполагалось, что исследуемое возмущение адекватно аппроксимируется приближенным рещением но оказывается, что это предположение включает относительно широкий класс возмущений, особенно, если степень аппроксимации п достаточна. [c.207]

Вообще можно утверждать, что, хотя абсолютные размеры зоны перемешивания и имеют значение, основную роль в определении пределов зажигания (или устойчивости) играет характер потока в зоне контакта продуктов сгорания и свежей смеси. Кроме ТОГО, асимптотический характер кривых фиг. 3 указывает на то, что при вспомогательных пламенах больше минимального (между 3,4 и 6,3 мм) практически нельзя получить каких-либо преимуществ, увеличивая скорость вспомогательного потока, когда отношение 3. Вообще говоря, при условии устойчивого вспомогательного пламени имеется такое значение up us, за которым уже не наступает какого-либо уменьшения предела устойчивости в области бедных смесей в случае увеличения скорости вспомогательного потока при определенном диаметре трубки источника зажигания. [c.85]

Для движений, отображаемых устойчивым предельным циклом, период и амплитуда (точнее, весь спектр амплитуд, получаюш ихся при разложении периодического движения в ряд Фурье) не зависят от начальных условий. Все соседние движения (соответствуюш ие целой области начальных значений) асимптотически приближаются к периодическому движению по предельному циклу, которое имеет определенный период и определенную амплитуду. [c.45]

Для нахождения наибольшей области v < К, внутри которой v < О, необходимо проделать определенные вычисления. Такие вычисления были проведены Макговином (1971 г.), который использовал методику Бергера и Лапидуса, описанную в гл. V. При /1=2 наибольшая область асимптотической устойчивости для низкотемпературного стационарного состояния может быть найдена внутри круга [c.208]

Проведенный анализ является более общим в том плане, что возмущение не ограничено, как это было сделано в гл. VII. Следовательно, рис. VIII-22, а в координатах температура — положение необходимо дополнить рис. VIП-22, б в координатах концентрация — положение. Эти области асимптотической устойчивости, как и на рис. VIИ-21, применимы только к концентрационным и температурным возмущениям противоположных знаков, которые целиком находятся между соответствующими профилями областей асимптотической устойчивости и профилями стационарных состояний. Области, определенные для температурных и концентрационных воз- [c.210]

Если у положительно-определенна и у отрицательно-определенна для всех х, то система устойчива в целом и не нужно ограничивать размер допустимых областей, очерченных контурами v = onst. Здесь нет противоречия, так как результат анализа Ляпунова зависит от выбранной у-функции. Другими словами, этот способ дает достаточные, но не необходимые условия устойчивости. В рассматриваемой задаче любая траектория, начинающаяся внутри окружности, касающейся кривой у = О, должна быть асимптотически устойчива при стационарном состоянии в начале координат. Однако, как показывает вторая у-функцня, траектории необязательно только устойчивы. [c.93]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология