ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Математическое программирование из "Методы кибернетики в химии и химической технологии 1968" Экстремум Р получается на границе области, определяемой условиями (И, 54) и (11,55). [c.121] Для двухмерных задач симплекс-метод означает, что прямая перемещается параллельно самой себе (см. рис. П-6). Для и-мерной задачи система неравенств определяет границы выпуклого многогранника и параллельно самой себе перемещается не прямая, а гиперплоскость. Решение всегда находится в вершине (если оно единственное) или заполняет ребро многогранника. Алгоритм последовательности приближений закладывается в программу для вычислительной машины. [c.122] Пример П-4 Предположим, что выпущены продукты Л и В и стоимость их каждой единицы составляет соответственно 3 и 5 руб. Найти максимальную прибыль и количество единиц каждого продукта л и Хв. Решим эту двухмерную задачу методом линейного программирования. [c.122] Линейные ограничения формулируются следующим образом. По условиям проведения процесса должно соблюдаться неравенства — дГд 3. Производство имеет ограничения по общему количеству выпускаемых продуктов А ц В + Хд 10. Расход исходного сырья ограничен соотношением Зх 9х 75. Необходимым условием является также неравенство х 0. [c.122] Решение. На рис. П-6 представлено графическое решение задачи. Ограничении представлены сплошными линиями, а различные значения целевой функции — пунктирными линиями. Любая точка в пределах заштрихованной площади удовлетворяет линейным ограничениям, а так как решение находится в положительном квадранте, то удовлетворяется последнее условие задачи. Максимум целевой функции найдем по пунктирной линии, проходящей через точку О, которая лежит на экстремальной точке заштрихованной площади и таким образом также удовлетворяет принятым ограничениям. Оптимум представляет собой прибыль в 45 руб. от производства А в количестве ха=2,5 единиц и В в количестве Хв=7,5 единиц. [c.122] Динамическое программирование. Этот метод применяется для многостадийных процессов, характеризуемых последовательностью решений, когда состояние системы зависит только от предыдущего шага и не зависит от ранее сделанных шагов. [c.122] Применение метода динамического программирования состоит в определении такого режима работы стадии, который максимизирует доход на этой и всех последующих стадиях для любых возможных состояний поступающего на нее потока. Обычно рассмотрение начинается с последней стадии процесса. Оптимальный режим всего процесса определяется постадийно. [c.123] Таким образом метод динамического программирования предполагает разбиение анализируемого процесса во времени или пространстве на стадии или ступени. В качестве стадии можно принять единицу времени (минута или час), единичный элемент оборудования (тарелка в дистилляционной колонне или реактор в цепочке реакторов). [c.123] В любом случае стадия или ступень — это математическая абстракция, применяемая для представления в дискретном виде непрерывной переменной. Состояние системы характеризуется совокупностью переменных, описывающих систему на любой стадии процесса. [c.123] На рис. П-7 представлен многостадийный процесс М — общее число стадий в процессе). Каждая стадия характеризуется переменной X и имеет входы и выходы. При помощи управляющих воздействий у оптимизуется переменная х и ц п Ук) и выражает выигрыш, получаемый на Л/-й стадии при надлежащем выборе уц в пределах от О до х. [c.123] Член Fff-i x — i/jv) представляет собой значение оптимизируемой функции на последующих jV—1 стадиях после выбора г/д-. [c.124] Динамическое программирование исключает необходимость исследования одновременно всех решений последовательно рассматривается каждая стадия в отдельности и для каждой стадии выбирается наилучшее из К решений. При использовании метода динамического программирования вместо комбинаций требуется проанализировать только МК комбинаций. Так, например, при К=3 и Л =10 обычный подход требует в этом случае анализа 3 °яг5,9-10 комбинаций, в то время как метод динамического программирования— только 30 комбинаций. Если далее рассмотреть процесс при К=3 и Л =100, то при обычном методе потребуется анализ 3 °°= 5,15-10 комбинаций при использовании же метода динамического программирования достаточно проанализировать лишь 300 комбинаций. СледовательНо, динамическое программирование резко сокращает объем вычислений и облегчает решение задачи. [c.125] Полученное соотношение представлено прямой линией в нижней половине рис. И-9. [c.125] Вернуться к основной статье