ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Градиентные методы оптимизации из "Методы кибернетики в химии и химической технологии 1968" Градиентные методы оптимизации относятся к численным методам поискового типа. Эти методы универсальны, хорошо приспособлены для современных цифровых вычислительных машин и весьма эффективны в большинстве случаев поиска экстремального значения нелинейных функций с ограничениями и без них, а также, когда функция вообще аналитически неизвестна. Вследствие этого градиентные или поисковые методы широко применяются на практике. [c.126] Сущность указанных методов заключается в определении значений независимых переменных, дающих наибольшие изменения целевой функции. Обычно это достиг ается при движении вдоль градиента, ортогонального к контурной поверхности в данной точке. [c.126] Основным вопросом, решаемым в методах градиента, является определение направления градиентного вектора в базисной точке с тем, чтобы установить, как велик должен быть шаг движения по градиенту и как вести расчет. Нахождение величины шага в направлении X], Х2,. . Хп В значительной степени зависит от вида поверхности. Если шаг слишком мал, это потребует продолжительных расчетов. Если наоборот размеры шага слишком велики, можно проскочить оптимум. Размеры шага по каждой переменной Xi вычисляются из значений частных производных в базовой (начальной) точке. Только в базовой точке градиент строго ортогонален к поверхности. Если же шаги слишком велики в каждом /-м направлении, вектор из базисной точки не будет ортогонален к поверхности в новой точке. [c.127] Для нелинейной функции направление градиентного вектора зависит от точки на поверхности, в которой он вычисляется. [c.128] Несмотря на существующие между градиентными методами различия, последовательность операций при поиске оптимума в большинстве случаев одинакова и сводится к следующему а) выбирается базисная точка б) определяется направление движения от базисной точки в) находится размер шага г) определяется следующая точка поиска д) значение целевой функции в данной точке сравнивается с ее значением в предыдущей точке е) вновь определяется направление движения и т. д. до достижения оптимального значения. [c.128] Этот принцип без изменения переносится на любое число переменных, а также на любое число дополнительных условий. [c.128] Известно, что направление этого вектора (см. рис. 11-10) совпадает с направлением наиболее крутого возрастания величины/ . Противоположное ему направление — это направление наискорей-шего спуска , или, другими словами, наиболее крутого убывания величины F. [c.129] Эффективность метода крутого восхождения зависит от выбора масштаба переменных и вида поверхности отклика. Поверхность со сферическими контурами дает быстрое стягивание к оптимуму. [c.130] Метод крутого восхождения при наличии ограничений. При наличии ограничений на изменение параметров целевой функции базисная точка выбирается так, чтобы она лежала в пределах ограничений, и поиск начинают по методу крутого восхождения. После расчета следующей точки оценивается не произошло ли нарушения ограничений если нарушения нет, поиск продолжается. Когда какое-либо ограничение нарушено, производят расчет градиента в соответствии с учетом ограничений (см. ниже). [c.130] Может быть использован также метод согласно которому при одном нарушении ограничений точка возвращается на линию ограничений. Когда существует более чем одно ограничение, и в каждый момент времени новое ограничение нарушается, метод требует, чтобы точки были перенесены к новому ограничению. В этом методе принимается, что оптимум лежит на ограничении. [c.130] По методу Розенброка25 функция цели видоизменяется введением множителей. Всякий раз, как одно из переменных нарушает ограничения, множитель равен нулю, т. е. функция цели умножается на нуль и поэтому равна нулю. Если значения переменной находятся в пределах допустимого режима, множитель равен 1и целевая функция принимает ее полное значение. Однако, когда значения переменной снижаются до пределов, предписываемых пограничной зоной , множительный фактор изменяется параболически от О до 1 в пределах пограничной зоны и целевая функция изменяется от О до ее полного значения. [c.130] Начальные координаты поиска Хю=2 и Х2о=2 (точка М, рис. 11-11). [c.131] Последняя из полученных точек указывает, что мы вновь перешли минимум, так как г/а больше у . [c.132] Вновь изменяем направление (точка Q), как показано на рис. 11-11, и продолжаем подобные расчеты, пока не достигнем оптимальных условий или, в нашем случае, минимального значения у. [c.132] Пример П-7 2. Найти минимум значения функции лг + лггпри наличии ограничения л 1 + Х2 4. Начальная точка имеет координаты л 1 = 3 и д 2=1. Дать графическую интерпретацию метода. [c.132] Находим частные производные целевой функции по переменным хх и Х2. [c.132] Следовательно, отношение изменения хг к изменению равно 2Xi Для начальной точки получим 1/[(2) (3)]=1/6. [c.132] НИИ или вправо от нее, возможно решение задачи. Начальная точка есть точка 1 и следующая точка есть точка 2. На графике видно нарушение ограничений и точка 3 возвращает нас обратно в допустимую область. Решением задачи являются значения переменных д 1=0,50 и 2=3,5. [c.133] Рассмотренный метод означает движение из нежелательной области ортогонально к ограничению целевой функции. [c.133] Вернуться к основной статье