ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Теоремы Ляпунова из "Устойчивость режимов работы химических реакторов" В основе второго метода Ляпунова лежит несколько теорем, определяющих достаточные признаки устойчивости системы в заданной области отклонений от положения равновесия. Прежде чем сформулировать эти теоремы, необходимо дать определение устойчивости в смысле Ляпунова. [c.160] При рассмотрении динамических систем могут существовать два подхода к устойчивости системы. [c.160] Нас может интересовать возвращаемость системы к положению равновеспя (стационарному состоянию) или соблюдение системой заданного движения. В первом случае говорят об устойчивости положения равновесия, во втором — об устойчивости движения. [c.160] В случае проточного реактора основным рабочим режимом является стационарное состояние, поэтому при анализе устойчивости работы такого реактора, как правило, исследуются стационарные состояния. Напротив, в периодическом реакторе рабочим режимом является переходной режим. Поэтому здесь проблема устойчивости может ставиться как устойчивость движения. [c.160] На первый взгляд устойчивость равновесия и устойчивость движения принципиально различны. С физической точки зрения это так и есть. Однако математически оба эти понятия устойчивости находят идентичную трактовку. Устойчивость движения можно рассматривать как обобщение понятия устойчивости стационарного состояния. [c.160] Пусть поведение динамической системы описывается дифференциальными уравнениями вида (V, 1). [c.160] Этому математическому определению устойчивости можно дать следующее физическое истолкование. Положение равновесия динамической системы называется устойчивым по Ляпунову, если после малого отклонения от этого положения (в пределах, определяемых величиной 6) система на протяжении всего дальнейшего времени продолжает оставаться вблизи него (в пределах, определяемых величиной е). [c.161] ЕТ ли система не только остается вблизи положения равновесия, но с ростом времени неограниченно приближается к нему, т. е. л (т)— л прп т — оо, то она обладает асимптотической устойчивостью. [c.161] В случае, когда нас интересует устойчивость движения, а не устойчивость положения равновесия, определение устойчивости будет мало чем отличаться по форме от приведенного выше. При этом рассматривают отклонение возмущенного движения от невозмущенного и требуют, чтобы по заданному сколь угодно. малому е можно было найти такое б, что отклонение в произвольный момент времени не будет превосходить е, если отклонение в начальный момент не превосходит б(е). [c.161] Перейдем к теоремам Ляпунова. [c.161] Первая теорема. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию V хиХ2. Хп), полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть знакопостоянная функция со знаком, противоположным знаку V, или функция, тождественно равная нулю, то невозмущенное движение устойчиво. [c.161] Вторая теорема. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию V(хи Х2. х ), полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть знакоопределенная функция со знаком, противоположным знаку V, то невоз-му ценное движение асимптотически устойчиво. [c.161] Доказательство теорем Ляпунова можно найти в цитированных монографиях. Здесь мы ограничимся лишь геометрической интерпретацией. [c.161] Вернуться к основной статье