Теоремы Ляпунова

Перейдем к теоремам Ляпунова. [c.161]

Из теоремы Ляпунова не вытекает способ построения функций V. Рассмотрим его, а также проведем исследование асимптотической устойчивости для наиболее простого случая, когда система (V.19) является линейной [c.165]

Согласно теореме Ляпунова [14], выборочная средняя [в нашем случае Уi x)] при достаточно больших Л/ распределена по нормальному закону, и, следовательно, для оценки вероятности неравенства (8.14) можно применять формулу Лапласа [c.273]

Понятие о законе больших чисел. Теорема Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова. [c.153]

Для исследования устойчивости систем, которые не могут быть линеаризованы разложением по степеням отклонений обобщенных координат, имеются другие теоремы Ляпунова, они составляют основу решения задач устойчивости вторым методом Ляпунова. [c.108]

Устойчивость или неустойчивость нелинейной системы проверяется по следующим теоремам Ляпунова. [c.204]

Реальное распределение свойств металла в пределах переходной области испытывает влияние множества факторов, в том числе случайных и потому не поддающихся детерминированному учету. Статистическое распределение физико-механических свойств (а следовательно, и величины начального локального электродного потенциала) металла в переходной области может подчиняться различным законам распределения, которые, однако, в пределе при достаточно большом числе случайных факторов весьма быстро приближаются к нормальному закону распределения, как это установлено центральной предельной теоремой Ляпунова. [c.217]

Поскольку проекция каждой частицы г — случайная величина, к системе применена центральная предельная теорема Ляпунова, и распределение среднего значения проекции % является нормальным распределением с математическим ожиданием л = 6/2 и дисперсией = 6 /12 N. При этом функция [c.239]

Нормальное распределение наиболее часто встречается на практике и теоретически наиболее полно разработано. Нормальный закон при некоторых условиях является предельным законом для суммы большого числа п независимых случайных величин, каждая из которых подчинена какому угодно закону распределения (теорема Ляпунова). Основное ограничение состоит в том, чтобы все слагаемые играли в общей сумме относительно малую роль. Множество событий происходит случайно вследствие воздействия на них большого числа независимых (или слабо зависимых) возмущений. У таких явлений закон распределения близок к нормальному. Нормальный закон распределения широко используется при обработке наблюдений. Пользуясь методами теории информации, можно показать, что нормальное распределение содержит минимум информации о случайной величине по сравнению с любыми распределениями с той же дисперсией. Следовательно, замена некоторого распределения эквивалентным нормальным не может привести к переоценке точности наблюдений. График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса (рис. 9). [c.18]

Имея в виду большие преимущества, которые дает линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений, желательно применить аналогичную методику к анализу устойчивости в малом систем с распределенными параметрами. Такой подход действительно дает удовлетворительные результаты, но следует заметить, что не существует обоснования справедливости линеаризации, такого же строгого, как основная теорема Ляпунова для систем с сосредоточенными параметрами (см. гл. IV). Принимая во внимание хорошо известные результаты,. можно сказать, что это ограничение не имеет большой практической важности. [c.158]

ВНУТРИ воспользуемся теоремой Ляпунова [9]. Рассмотрим [c.223]

Очень важно определить условия, при которых можно ожидать появление нормального распределения в аналитической работе. Здесь нужно исходить из центральной предельной теоремы Ляпунова, которую можно сформулировать следующим образом сумма V независимых случайных величин Ху при достаточно большом значении V имеет нормальное распределение даже тогда, когда независимые случайные величины х , х ,...,ху имеют произвольное распределение, при з словии, что среди рассматриваемых случайных величин не должно быть таких, значения которых сравнимы по своему порядку со всей суммой этих величин, т. е. когда дисперсия каждой из величин x ,x2,..., Ху оказывает лишь малое влияние на суммарную дисперсию. [c.122]

При изучении межлабораторных ошибок воспроизводимости в некоторых случаях приходится сталкиваться с тем обстоятельством, что приемы работы отдельных лабораторий оказываются настолько несогласованными между собой, что это приводит к нарушению условий, вытекающих из центральной предельной теоремы Ляпунова, и тогда неизбежно получаются отклонения от нормального распределения. На рис. 22 приведены распределения анализов гранита и диабаза по результатам определений, полученным 34 аналитиками в 25 лабораториях 10 разных стран [90]. Имеющийся здесь материал оказывается недостаточным для того, чтобы провести проверку гипотезы нормальности, пользуясь статистическими Крите- [c.128]

Исходя из этой классификации, для количественного анализа мы можем ожидать появления нормального распределения, если выполняются условия, вытекающие из центральной предельной теоремы Ляпунова. Для полу- [c.132]

Из факта существования такой функции в соответствии с теоремами Ляпунова следует утверждение о том, что рассматриваемое положение равновесия для [c.580]

Другая трудность применения функций Гаусса — Лапласа связана с необходимостью предварительно установить, что результаты химического анализа распределены именно по нормальному закону. Чаще всего на практике дело обстоит именно так, ибо совокупная случайная ошибка химического анализа включает в себя большое число небольших по величине ошибок, каждая из которых имеет свой источник и свою причину. И каким бы ИИ было распределение каждой из таких частичных ошибок, суммарная случайная ошибка распределена по нормальному закону, е сли среди всех частных ошибок нет явно доминирующих по величине. Это положение — следствие так называемой предельной теоремы Ляпунова. [c.72]

Нормальное распределение наиболее часто встречается на практике и теоретически наиболее полно разработано. Нормальный закон при некоторых условиях является предельным законом для суммы большого числа п независимых случайных величин, каждая из которых подчинена какому угодно закону распределения (теорема Ляпунова). [c.19]

Необходимая и достаточная численность проб может быть найдена с помощью теоремы Ляпунова, согласно которой вероятность неравенства [c.45]

Так, выше совершенно не рассматривался вопрос о том, с какой точностью эмпирическое распределение аппроксимируется нормальным. Методы, позволяющие исследовать и решать этот вопрос, разработаны и, конечно, должны найти практическое применение в калориметрических измерениях [1, 5]. Отметим также, что, основываясь на центральной предельной теореме Ляпунова 1, 5], можно ожидать, что при калориметрических измерениях в большинстве случаев эмпирические распределения должны быть близки к нормальному. [c.401]

Теорема 4 является аналогом теоремы Ляпунова [36] об устойчивости. [c.175]

Доказанное утверждение является аналогом теоремы Ляпунова [36] об асимптотической устойчивости. [c.177]

Теоремы 6 и 7 аналогичны соответственно второй н первой теоремам Ляпунова [36] о неустойчивости. Заметим, что теоремы [c.179]

Согласно центральной теореме Ляпунова теории вероятности распределение единичных структурных амплитуд по различным значениям Q (i7) в этих условиях должно быть близко к гауссовому. Из (54), кроме того, следует, что среднее значение U(hkl) должно быть равно нулю ( os 9=0). Поэтому распределение будет симметричным относительно положительных и отрицательных значений [c.103]

Обобщая эти рассуждения на многомерный (р-мерный) случай и для у, не обязательно являюпщхся окружностями, приходим к теореме Ляпунова об устойчивости, которая формулируется следующим образом. [c.165]

Отметим еще следующее. Центральная теорема Ляпунова, положенная в основу вывода статистических соотношений, строго говоря, справедлива лишь при равноценности вкладов независимых компонентов п соз2лХ X в суммарное распределение и кк1) и при [c.108]

Следует заметить, что в тех случаях, когда число не-яависимых составляюидих звеньев в цепи не менее восьми с однородными по величине допусками и любыми одно вершинньши законами рассеяния, то согласно теореме Ляпунова (17], распределение отклонений замыкающего звена будет подчиняться закону рассеяния достаточно близкому к нормальному. В этих случаях принимают =0 и = 1. [c.112]

Формула (б) справедлива, как упоминалось, при условии нормальности распределений опытных данных. Однако не ксишчены случаи, когда условия центральной предельной теоремы Ляпунова могут не выполняться. Так, например, по данным Клэнси, приводимым Налимовым в своей монографии [э]f среди изученных 250 распределений только в 10-15% случаев имело место нормальное распределение, а в остальных случаях наблюдались весьма существенные отклонения. Нужно отметить, что если лсследователь работает с неоднородным материалом, обуславливающим доминирующее влияние некоторых случайных величин, не подчиняющихся распределению Гаусса, то экспе риментальше результаты не будут иметь нормального распределения [ 9,[. [c.437]

В аналитической работе как при рассмотрении ошибок воспроизводимости, так и при рассмотрении методических ошибок мы имеем дело с большим количеством независимых переменных факторов законы распределения этих переменных нам неизвестны, но мы можем полагать, что по крайней мере для хорошо отработанных методик и в хорошо организованных лабораториях, как правило, должны отсутствовать доминирующие факторы,—это дает возможность полагать, что аналитические ошибки должны, вообще говоря, подчиняться нормальному распределению. Но в то же время в аналитической работе, естественно, могут встретиться случаи, когда нарушаются условия, вытекающие из центральной предельной теоремы Ляпунова, и тогда неизбежно появляются неслучайные отклонения от нормального распределения. В некоторых случаях приходится даже констатировать появление распределений, существенно отличающихся от нормального распределения. В силу этого обстоятельства в литературе, посвященной проверке гипотезы нормальности в аналитической работе, имеются весьма противоречивые сведения. В работе Клэнси [67] было изучено 250 распределений для различных аналитических методов, включающих в общей сложности 50 ООО отдельных определений, и показано, что с практической точки зрения только в 10—15% [c.122]

После классических работ Гаусса и Лапласа было принято рассматривать нормальное распределение как некоторый метрологический закон, автоматически вы-полняюш,ийся при измерительных процессах. Такую точку зрения нельзя распространять на такой сложный измерительный процесс, как анализ вещества. Если говорить о каком-то общем законе в метрологии, то в качестве такого метрологического закона нужно было бы рассматривать центральную предельную теорему Ляпунова. В соответствии с такой постановкой вопроса задача экспериментатора, изучающего новый материал, должна заключаться не просто в проверке гипотезы нормальности, а в такой предварительной обработке и группировке изучаемого материала, которая обеспечила бы выполнение требований, вытекающих из центральной предельной теоремы Ляпунова. Здесь трудно дать какие-нибудь рекомендации общего характера. Важно, чтобы экспериментатор хорошо знал физическую сущность изучаемого процесса и легко мог так сгруппировать материал, чтобы были исключены доминирующие факторы. [c.133]

Когда на множество факторов, подчиняющихся требованиям, вытекающим из центральной предельной теоремы Ляпунова, накладывается квантование, обусловленное применением очень грубой измерительной шкалы, то естественно ожидать появления распределения Пуассона, предельным случаем которого является нормальное распределение. Для того чтобы ошибки полуколичествеи-ного анализа можно было представить распределением Пуассона, воспользуемся специальным кодом, состоящим из ряда положительных целых чисел О, 1, 2, 3... Допустим, что имеем пробу, содержащую 0,01% того или иного элемента, и выполняем анализы, пользуясь трехкратной шкалой концентраций. В этол случае могут быть получены следующие результаты при многократном повторном анализе 1) с = 0,01%—анализ выполнен без ошибки, и ошибка анализа может быть закодирована числом О, 2) с = 0,03% или с = 0,003%—анализ попал в ближайший интервал концентрации (справа или слева от истинного содержания), и ошибка может быть закодирована числом 1, 3) с = 0,1 % или с = 0,001%—анализ попал во второй интервал концентрации—ошибка кодируется числом 2 и т. д. В результате при многократном анализе пробы мы получаем следующий ряд чисел [c.146]

Результаты расчета термодинамических свойств и их статистических характеристик по совокупности термических уравнений состояния, содержащей большое число уравнений, позволяют обоснованно судить о достоверности расчетных значений калорических и акустических свойств. Следует учитывать, что все оценки получены в предположении отсутствия систематических погрешностей в исходньЕх экспериментальных данных. В таком случае величину х можно рассматривать как оценку истинного значения термодинамической функции X по выборке из генеральной совокупности. С другой стороны, оценка х, рассчитываемая по формуле (3.81), является суммой достаточно большого числа N независимых случайных величин, ни одна из которых не доминирует над остальными. Поэтому на основании центральной предельной теоремы Ляпунова оценка х сама представляет собой случайную величину, подчиняющуюся закону нормального распределения, и среднюю квадратическую погрешность для [c.191]

Для определения коэффициентов Ks, и ад кривой рассеяни.ч отклонений размера за.мыкающего звена по значениям Ki и а, составляющих размеров в теории размерных цепей предложены соответствующие формулы [19]. Если число независимых составляющих звеньев цепи не менее восьми с однородными допусками и любыми одновершинными законами рассеяния, то, согласно теореме Ляпунова, распределение отклонений замыкающего звена будет подчиняться закону рассеяния, достаточно близкому к нормальному. В этих случаях можно принимать as = 0 и /Сб =1. [c.108]

При определении параметров распределения частиц по скоростям предполагалось, что оно близко к нормальному. Такое предположение вполне обоснованно. Действительно,. можно утверждать, что в любой мо.мент твердая частица случайным образом взаимодействует с большим числом жидких частиц, непосредственно соприкасающихся с ней. Импульс, который приобретает или теряет твердая частица в результате взаимодействия с отдельной жидкой частицей, много меньше суммарного импульса, получаемого частицей в единицу времени от потока сплошной фазы. Тогда согласно теореме Ляпунова из теории вероятностей [83] распределение импульса твердой частицы, а следовательно, и скорости ее движения должно быть приближенно нормальным. Этот оакт нашел экспериментальное подтверждение в работах 171, 190]. На рис. 13 представлены кривые плотности распределения (и) частиц твердой фазы по скоростям для че- [c.50]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология