ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Пентатоп из "Методы изображения многокомпонентных систем" Геометрия мерного эвклидова пространства строится путем простого обобщения основных положений обычной геометрии. Так, например, если плоскость определяется тремя точками, расположенными не на одной прямой, а трехмерное пространство — четырьмя точками, расположенными не в одной плоскости, то п-мерное пространство считается заданным, если известны (л 4-1) его точек, расположенные не в одном и том же (о—1)-мерном пространстве. [c.20] Аналогично, если положение точюи обышого эвклидова пространства можно определить, например, заданием трех прямоугольных (декартовых) координат, то положение точки в четырехмерном пространстве определяется заданием четырех прямоугольных координат, и вообще, положение точки в п-мерном пространстве определяется заданием п координат. [c.20] В середине XIX в. в многомерной геометрии возникло синтетическое направление, которое привело к важным результатам в области исследования общих свойств многомерных фигур. [c.20] Симплексом п-мерного пространства (его обозначают 5 +1) называется простейщая замкнутая выпуклая п-мерная фигура, определяемая (п+1) точками, расположенными независимо, т. е. не лежащими в каком-либо одном и том же (п—1)-мерном пространстве. [c.21] двумерным симплексом является треугольник, трехмерным— тетраэдр, а четырехмерным — пентатоп. Таким образом, симплексы — геометрические фигуры, лищенные диагональных сечений. [c.21] Если все ребра симплекса между собой равны, он называется правильным. [c.21] Доказано, что число вершин, граней, трехмерных объемов и других геометрических элементов, входящих в состав оим-плекоов, может быть определено на основе треугольника Паскаля (табл. 2). [c.21] Но для целей и задач физико-химического анализа этих простейших геометрических фигур недостаточно. Для изображения взаимных систем, а также для отображения влияния других факторов, отличных от концентраций компонентов, необходимо прибегнуть к более сложным фигурам. [c.22] Известно пять правильных трехмерных фигур — полиэдров, так называемых пять твердых тел Платона 1) правильный тетраэдр 2) октаэдр 3) куб 4) икозаэдр, 5) додекаэдр. [c.22] Из них последние две фигуры — икозаэдр (фиг. 7) и додекаэдр (фиг. 8) — весьма сложны. Для построения диаграмм четверных систем применяются тетраэдр и отчасти октаэдр (точнее — полуоктаэдр) и куб. Но, кроме того, для этой цели можно использовать трехгранную призму, которая не принадлежит к числу правильных полиэдров. [c.22] Пентатоп (см. фиг. 1) давно применяется в физико-химическом анализе. Как указал еще Е. С. Федоров, пентатоп вполне подходит для изображения так называемых простых пятикомпонентных систем, в которых отсутствуют реакции взаимного обмена его пять вершин отвечают пяти индивидуальным компонентам системы десять ребер и десять граней соответствуют десяти двойным и десяти тройным системам, которые образуются при сочетании исходных компонентов по два и по три пять ограничивающих тетраэдров могут отображать пять четверных систем, входящих в состав каждой пятерной наконец, внутреннее содержание пентатопа находится в соответствии со всеми возможными составами пятикомпонентной системы в целом. [c.23] Пентатоп можно представить себе как геометрическую фигуру, полученную из тетраэдра, на каждой грани которого в четырехмерном пространстве построены тетраэдры, имеющие общую вершину. Пентато п, следовательно, ограничен пятью тетраэдрами, подобно тому, как, например, тетраэдр ограничен четырьмя треугольниками, а треугольник — тремя сторонами. [c.23] Изобразить пентатоп, как и другие многомерные фигуры, мы можем только в виде проекций на трехмерное пространство или на плоскость. Если проектирование ведется лучами, не параллельными ни одному из ребер многомерной фигуры, то ни один из ее элементов не вырождается, к мы получаем особую проекцию, которую условно назовем объемной проекцией. [c.23] На фиг. 1 представлена такая обт.емная проекция для пентатопа, которую можно построить в виде модели. На ней отчетливо видны все элементы, входящие в состав пентатопа его верщины, ребра, грани и трехмерные фигуры — тетраэдры. Объемную проекцию пентатопа можно получить в результате прямолинейного перемещения тетраэдра в трехмерном пространстве при условии, что объем этого тетраэдра в ходе движения постепенно уменьшается, сжимаясь до нуля. [c.24] Вернуться к основной статье